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QUANTUM MECHANICS Vorlesung 4: Oberschwingungs- und Unsicherheitsrelation

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Anmerkung: Untersuchung der qualitativen Seite der Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen harmonischen Oszillator, um die Unterschiede zwischen den erhaltenen Ergebnissen und den Schlussfolgerungen der klassischen Mechanik zu verdeutlichen. (Eine traditionelle Präsentation des Themas, ergänzt durch Demonstrationen an Computermodellen.)

Eines der wichtigsten Probleme bei der Bewegung von Mikropartikeln ist das Problem der Bewegung eines harmonischen Oszillators - eines Systems, das harmonische Oszillationen ausführen kann. Die Geschichte der Quantentheorie beginnt tatsächlich mit Max Planck, der 1900 eine Formel zur korrekten Beschreibung der spektralen Verteilung der Wärmestrahlung erhielt. Planck gelangte zu dem Schluss, dass er die Schlussfolgerung seiner Zauberformel für die Strahlungsverteilung nur dann liefern könne, wenn eine Annahme getroffen werde, die er aus philosophischer Sicht als nahezu inakzeptabel betrachte. Diese Annahme war, dass er sie als Emitter betrachtete harmonische Oszillatoren müssen Energien besitzen, die nicht als kontinuierliche Variablen verteilt sind (was zu erwarten ist), sondern diskrete und regelmäßig lokalisierte Werte annehmen. Oszillatoren mit einer Frequenz υ sollten Energiewerte aufweisen, die mehrfach sind, d.h. n mal multipliziert (wo n = 0,1, 2,3. ) zu etwas, das als Energiequantum hu bezeichnet wird.

Überlegen Sie eindimensional Fall. (Dreidimensionale Probleme sind mathematisch komplex und fast alle grundlegenden Merkmale der Bewegung von Mikropartikeln können in eindimensionalen Problemen identifiziert werden.) Änderung der potentiellen Energie entlang der Achse x wird durch die Formel beschrieben

Welche Beispiele für die Bewegung der umgebenden Welt werden durch eine solche potentielle Funktion zumindest näherungsweise beschrieben?

  • Schwingungen eines Pendels mit kleiner Amplitude.
  • Ein weiteres Beispiel sind die vertikalen Schwingungen eines an einer Feder aufgehängten Gewichts.

Beispiele in der Welt der Mikropartikel sind Schwingungen eines zweiatomigen Moleküls oder Schwingungen von Atomen in Kristallen. Wesentlich für alle Beispiele ist Bewegungseinschränkung Ein gewisser Wertebereich x. Ein Partikel kann keine parabolische Potentialwanne hinterlassen, deren Kanten sich bis ins Unendliche erstrecken.

Aus der klassischen Mechanik ist bekannt, dass die Projektion der Teilchenbewegung auf der x-Achse eine sinusförmige Schwingung nahe der Gleichgewichtsposition x = 0 mit einer Frequenz ist:

Punkte a0 und -a0Die Wendepunkte für das Teilchen sind, in denen die Gesamtenergie des Teilchens E gleich der potentiellen Energie ist. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Detektion eines schwingenden Teilchens an verschiedenen Punkten der x-Achse wird durch die Formel beschrieben

Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in der Nähe der Gleichgewichtsposition zu finden, ist minimal, wenn es sich mit maximaler Geschwindigkeit bewegt. In der Nähe der Wendepunkte "hängt" das Teilchen sozusagen, und dort ist die Erkennungswahrscheinlichkeit maximal.

Abschätzung der minimalen Energie des Oszillators

Lassen Sie uns sehen, welche Schlussfolgerungen über die Natur der Bewegung durch die Quantenmechanik gezogen werden. Wir beginnen mit einer einfachen Schätzung der minimalen Energie des Oszillators E. Die Gesamtenergie des Oszillators E ist die Summe der kinetischen und potentiellen Energien:

Unter Verwendung der Heisenbergschen Unschärferelation nehmen wir p als Schätzung des Impulses p

Für kleine Werte von x übersteigt die kinetische Energie das Potential, während für große Werte von x die umgekehrte Beziehung zwischen ihnen stattfindet. Für den Grundzustand, in dem die Energie minimal ist, finden wir das Minimum der Funktion (2). X-Wertminentsprechend dem Minimum ist:

und der entsprechende Energiewert E liegt in der Größenordnung

Beachten Sie, dass die Schätzung der Energie des Grundzustands gibt ungleich Null(!) Wert. Bereits einfache Berechnungen führen zu einem nicht trivialen Ergebnis.

Lösungen der Schrödinger-Gleichung

Um die exakte Lösung zu finden, muss die Schrödinger-Gleichung mit der potentiellen Energie (1) gelöst werden, die die Form hat

Schwierigkeiten in der Lösung hängen mit dem Ausdruck zusammen, der x 2 enthält. Hier sind nur die Ergebnisse der Berechnungen. Die Analyse zeigt, dass die Wellenfunktionen, die die Lösung für diese Gleichung darstellen, wie bei einem rechteckigen Potentialtopf nicht für alle Werte der Energie E stetig und endlich sind, sondern nur für diskret Reihe von Werten:

wo n nimmt die Werte 0, 1, 2, an. . Es ist zu beachten, dass sich die Energieniveaus des harmonischen Oszillators im Gegensatz zu einem rechteckigen Potentialtopf im gleichen Energieabstand voneinander befinden. ΔE = hυ.

Ein wichtiges Merkmal der Lösung ist das Vorhandensein von sogenannten Null Schwingungen - Schwingungen mit einer Energie, die dem Wert der Quantenzahl n = 0 entspricht. Eine Differenz von Null der minimalen Energie des Oszillators ist für alle Quantensysteme charakteristisch und eine Folge der Unsicherheitsrelation (siehe Schätzung oben). In realen Quantensystemen, zum Beispiel Kristallen, bleiben diese Schwingungen, wie die Erfahrung zeigt, auch bei Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt erhalten, wenn anscheinend alle thermischen Bewegungen aufhören sollten. Versuche zur Lichtstreuung an Kristallen bei tiefen Temperaturen bestätigen dies. Die Rolle von Nullpunktschwingungen ist auch für die Erklärung der Kräfte molekularer Wechselwirkungen (Beispiel unten) und anderer molekularer Phänomene von großer Bedeutung.

Die ersten drei Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators sehen folgendermaßen aus:

Die Notation x wird hier eingeführt0 2 = h / (4π 2 mυ).

Diagramme dieser Wellenfunktionen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Die gestrichelten Linien zeigen die Grenzen, zwischen denen ein klassisches Teilchen schwingen würde. Werte0 unterscheiden sich für verschiedene n, da von n hängt von der Energie E ab (

E 1/2). Offensichtlich ist für kleine Werte der Quantenzahl n die Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen zu finden, bestimmt durch den Quadratmodul der Wellenfunktion ψ0(x) 2 unterscheidet sich grundlegend von der Wahrscheinlichkeitsdichte der Detektion eines klassischen Oszillators: Im Grundzustand fällt der maximale Wahrscheinlichkeitswert in die Mitte, der Modul der Wellenfunktion für alle Quantenzahlen n hat die größten Werte zwischen klassischen Wendepunkten und exponentiell abnehmenden "Schwänzen" außerhalb dieser Punkte.

Wir bestimmen für den Grundzustand, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist P Partikeldetektion außerhalb des klassischen Bereichs, d.h. außerhalb des Bereichs -a0 Quantenoszillatormodell

ComputermodellComputermodell

Ein Computermodell hilft Ihnen beim Studium eines Quantenoszillators. Ihr die möglichkeiten: Nachdem Sie die Seriennummer der Z-Atome angegeben haben, aus denen sich das Molekül zusammensetzt (standardmäßig Z = 8), führt der Computer die erforderlichen Berechnungen durch und ist bereit, die zulässigen Energiewerte, die entsprechenden Wellenfunktionen und die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Position des Partikels entlang der Koordinate anzuzeigen. Bewegen Sie den Zeiger entlang der Energieachse (mit der Maus oder den Pfeiltasten) und beobachten Sie.

Definieren:

  • wie die Dichte der Ebenen von der Masse der Atome abhängt,
  • wie die Teilchenenergie von der Quantenzahl abhängt n,
  • wie die Wahrscheinlichkeit des Nachweises eines Teilchens abhängt xstellen Sie sicher, dass die Amplitude der Partikelschwingungen mit ihrer Energie zunimmt,
  • Wie wahrscheinlich es ist, ein Teilchen außerhalb des klassischen Bereichs zu entdecken, hängt von der Quantenzahl ab n. Setzen Sie dazu im unteren Diagramm das Kreuz an den Anfang des Integrationsbereichs, drücken Sie die Eingabetaste und bewegen Sie das Kreuz zum Endpunkt. Der Computer berechnet die Fläche unter der Kurve entsprechend der Wahrscheinlichkeit, dass ein Partikel in dem von Ihnen gewählten Koordinatenbereich erkannt wird.

Mischzustände (Überlagerungsprinzip)

Reale Objekte (Atome in einem Molekül, Kristall.) Sind selten im Grundzustand. Durch beispielsweise thermische Anregung sind Zustände mit einer Quantenzahl reell n > 0. Eine der wichtigsten Bestimmungen der Quantenmechanik ist das Prinzip der Überlagerung. Es heißt: ob sich ein Quantenteilchen in den durch die Funktionen Ψ beschriebenen Zuständen befinden kann1, Ψ2, . Ψn, dann die lineare Kombination (Überlagerung) von Wellenfunktionen Ψich

wo mitich - beliebige Konstanten, ist auch eine Wellenfunktion, die einen der möglichen Zustände des Teilchens beschreibt. Chancen mitich im Laufe der Zeit ändern. Das Unsicherheitsprinzip ΔtΔE> h / 2π erlaubt es nicht, die Zeitabhängigkeit dieser Koeffizienten für einen bestimmten Oszillator zu bestimmen (es ist jedoch möglich, Durchschnittswerte für eine große Anzahl von Oszillatoren zu erhalten).

Für harmonischen Oszillator interessant eine Menge von Zuständen, die die Koordinaten-Impuls-Unsicherheitsrelation minimieren, d.h. die Arbeit ΔpΔx = h / 2π. Es wurde erstmals 1926 von Schrödinger gebaut. Die Wellenfunktion Ψ (x, t) kann in den Wellenfunktionen der stationären Zustände des Oszillators erweitert werden

Die Koeffizienten dieser Zerlegung

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Oszillator in einem Zustand mit einer Quantenzahl befindet n ist gleich

d.h. gegeben durch die Poisson-Verteilung. Die Wellenfunktion Ψ (x, t) repräsentiert ein nicht expandierbares Wellenpaket. Package Center bewegt sich nach dem klassischen Gesetz, die Breite des Pakets hängt nicht von der Zeit ab.

Diese Bedingungen werden genannt kohärentda sie zur Beschreibung der kohärenten Eigenschaften elektromagnetischer Strahlung in der Quantenfeldtheorie verwendet werden (R. Glauber, Nobelpreis 2005, Text einer Nobelvorlesung, 269 kb). Es kann gezeigt werden, dass ein freies elektromagnetisches Feld einer unendlichen Menge unabhängiger harmonischer Oszillatoren entspricht.

Die Eigenschaften der kohärenten Zustände eines harmonischen Oszillators können unter Verwendung von besser verstanden werden Computermodell (Autor L. Kocbach).

Durchschnittsberechnung

Mit Hilfe von Wellenfunktionen kann man den Mittelwert eines beliebigen Wertes ermitteln (wenn er im Prinzip experimentell gemessen werden kann). Die Menge | ψ (x) | 2 dx ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im Intervall dx zu finden. Bei wiederholten Beobachtungen des Teilchens | ψ (x) | 2 dx ist der Bruchteil der Teilchen, die sich in diesem Intervall befanden, d.h. | ψ (x) | 2 ist eine Koordinatenverteilungsfunktion. Hiermit ermitteln wir den Mittelwert der Koordinate

In ähnlicher Weise wird der Durchschnittswert einer Koordinatenfunktion zum Beispiel für die potentielle Energie ermittelt, die wir haben

In diesen Formeln multiplizieren wir zur Berechnung des Durchschnittswerts den Wert der Funktion am Punkt x mit der Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in der Nähe von x zu finden, und summieren über alle möglichen Werte von x. Als Beispiel finden wir diese Größen für den Grundzustand eines harmonischen Oszillators

weil das Integral ist eine ungerade Funktion, und

Der Durchschnittswert der potentiellen Energie entspricht der Hälfte der Gesamtenergie dieses Zustands.

Die Regel zur Berechnung der durchschnittlichen kinetischen Energie unterscheidet sich von der obigen, weil Die kinetische Energie ist eine Funktion des Impulses p, nicht der x-Koordinate:

Für den Grundzustand eines harmonischen Oszillators

d.h. Wir haben gezeigt, dass für den Grundzustand eines harmonischen Oszillators die Durchschnittswerte der potentiellen Energie und der kinetischen Energie gleich sind und die Hälfte der Gesamtenergie des Oszillators ausmachen. Es kann gezeigt werden, dass diese Aussage für jeden anderen Zustand eines quantenharmonischen Oszillators gilt. Der Durchschnittswert der potentiellen Energie steigt mit zunehmendem n, da für große werte n Die Funktion ψ (x) unterscheidet sich deutlich von Null in den Bereichen der x-Achse, in denen das Potential U (x) zunimmt. Beachten Sie dies, wenn Sie mit einem Computermodell experimentieren.

Die Strahlungsenergie beim Übergang von einem Zustand in einen anderen ist gleich

Der Satz von gleich beabstandeten Energieniveaus des harmonischen Oszillators (3) bedeutet auf den ersten Blick, dass der Oszillator Strahlung mit einem Frequenzvielfachen von υ absorbieren und emittieren kann, d.h. kυ, wobei k die Differenz der Quantenzahlen der Anfangs- und Endpegel des Oszillators ist. Dies ist jedoch tatsächlich nicht der Fall. Die genaue Analyse zeigt, dass wenn

Wenn n und m Quantenzahlen des Anfangszustands und des Endzustands sind, ändert sich der Durchschnittswert der Koordinate zeitlich nicht, und solche Übergänge sind verboten.

Stellen wir sicher, dass diese Bedingung für einen harmonischen Oszillator erfüllt ist. Sei n = 1 und m = 0. Wenn wir die Konstanten weglassen, erhalten wir für das Integral den Ausdruck

weil unter dem Integral ist eine gerade Funktion. Wenn wir n = 2 setzen, m = 1,

aus dem gleichen grund. Übergänge zwischen benachbarten Ebenen 0_button1 und 1_button2 sind zulässig. Betrachten wir nun den Übergang zwischen den Zuständen n = 0 und m = 2. Das entsprechende Integral hat die Form

da die Funktion unter dem Integral ungerade ist und die Grenzen bezüglich x = 0 symmetrisch sind. Daher sind Übergänge 0_button2 verboten. Die Merkmale der Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung durch einen harmonischen Oszillator sind derart, dass nur Übergänge zwischen benachbarten Pegeln möglich sind Δn = ± 1. Dies ist eine Auswahlregel für einen harmonischen Oszillator.

3D harmonischer Oszillator

Im allgemeinen Fall wird die potentielle Energie als die Summe ausgedrückt

Die Schrödinger-Gleichung erlaubt die Trennung von Variablen. Wenn wir nach einer Lösung in der Form ψ (x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z) suchen, erhalten wir drei Differentialgleichungen, die im Aussehen mit eindimensional übereinstimmen. Für den isotropen Fall (kx = ky = kz = k) die Energiewerte sind

Wo sind die Quantenzahlen? n1, n2 und n3 Werte von durchlaufen 0 ad infinitum. Wie beim eindimensionalen Problem gibt es eine Diskriminanz der Energiewerte, die ungleich Null ist Null Energie. Im dreidimensionalen Fall wird die Lösung bestimmt drei Quantenzahlen. Und eine Besonderheit: Verschiedene Zustände, für die die Bedingung erfüllt ist, können den gleichen Energiewert haben n1+n2+n3 = const. Solche Bedingungen werden genannt degenerieren.

Das Zusammenspiel zweier Oszillatoren

Existenz Null Energie (Formel (3) bei n = 0) spielte eine wichtige Rolle bei der Erklärung eines solch mysteriösen Phänomens wie der interatomaren Wechselwirkung in Edelgasen. Da sich diese Wechselwirkung in der Van-der-Waals-Zustandsgleichung für reale Gase manifestiert

es heißt van der Waals. Wenn Moleküle (Atome) ein Dipolmoment haben, ist ihre Anziehung auf die Wechselwirkung von Dipolen zurückzuführen (eine qualitativ und quantitativ untersuchte Tatsache). Aber neutrale Moleküle mit symmetrischen ruhender Zustand Die Ladungsverteilung kann nur dann zusammenwirken, wenn sich die Ladungen verschieben und ein Dipolmoment entsteht. Eine solche Verschiebung entsteht, wenn die Nullpunktschwingungen mit der Energie hU / 2 unter keinen Umständen verschwinden. Das Auftreten eines Dipolmoments in einem Molekül induziert ein Dipolmoment in einem anderen. Das Zusammenspiel dieser sich schnell verändernden Momente und bewirkt Anziehung.

Als einfaches Modell betrachten wir zwei lineare Oszillatoren, die in einem Abstand R voneinander angeordnet sind und entlang einer sie verbindenden geraden Linie oszillieren. Positive Ladungen werden als fest angenommen, x1 und x2 - die Verschiebung negativer Teilchen (Elektronen) aus der Gleichgewichtsposition.

In Mangel an einer Sekunde (oder bei sehr großem R) kann die potentielle Energie jedes Oszillators durch die Formel (1) berechnet werden, und die Oszillationsfrequenz wird mit bezeichnet0

Die Wechselwirkungsenergie zweier Dipole ist nach dem Coulombschen Gesetz gleich

Die ersten beiden Begriffe beschreiben die Abstoßung der gleichen Ladungen verschiedener Dipole, und die zweiten beiden Begriffe beschreiben die Anziehung. Immer R >> x1 und R >> x2. Daher erweitern wir die Brüche in Zeilen und erhalten drei Terme der Erweiterung

Die Gesamtenergie zweier wechselwirkender Oszillatoren ist gleich (hier ist p der Elektronenimpuls)

der Ausdruck für Gesamtenergie wird auf reduziert

Darstellung der Summe der Energien zweier unabhängiger Oszillatoren mit leicht unterschiedlichen Frequenzen

Wie wir gesehen haben, hat die Energie dieser Oszillatoren quantisierte Werte (siehe (3) oben) und daher wird die Gesamtenergie unseres Systems sein

und für den Grundzustand (n1 = 0 und n2 = 0)

Jetzt müssen wir berücksichtigen, dass die zweiten Terme unter den Wurzeln viel kleiner sind als die ersten (die Verbindung eines Elektrons mit seinem Kern ist viel stärker als die Verbindung von Oszillatoren). Wir erweitern die Quadratwurzeln in Potenzreihen und beschränken uns bei der Erweiterung auf drei Terme. Es wird geben

Der letzte Ausdruck entspricht der doppelten Energie eines isolierten Oszillators minus wenig Energie. Da das Additiv negativ ist, ist die Gesamtenergie der wechselwirkenden Oszillatoren geringer als die Energie der isolierten, und es wird Energie benötigt, um die Bindung zu lösen zu verbringen! Beachten Sie, dass die Bindungsenergie mit der Entfernung sehr schnell abnimmt

Wäre nicht so keine Schwankungen (reiner Quanteneffekt), im Grundzustand gäbe es keine Bindung von Molekülen.

Anharmonischer Oszillator

Harmonischer Oszillator - Idealisierung. Wirkliche Abhängigkeiten U (x) sieh wie auf dem Bild rechts aus. Eine Parabel (gestrichelte Kurve) ist nur für kleine Schwingungen in der Nähe der Gleichgewichtsposition eine gute Näherung. Für Schwingungen mit großer Amplitude ist Formel (3) ungeeignet, die Intervalle zwischen den oberen und unteren Energieniveaus sind nicht gleich. Für höhere Energieniveaus En Die Potenzialwanne ist breiter als die Parabel, und daher sind die Intervalle zwischen diesen Ebenen kürzer als die Intervalle zwischen den unteren Ebenen.

Um es zusammenzufassen:

  • die Energie des Grundzustandes des Teilchens ist ungleich Null,
  • Die Teilchenenergie wird quantisiert und ihr Wert wächst linear mit n,
  • Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zu entdecken, variiert von Punkt zu Punkt.
  • im dreidimensionalen Fall kann der gleiche Energiewert (Entartung) verschiedenen Zuständen entsprechen,
  • Null-Schwingungen erklären den Ursprung der Anziehungskräfte zwischen den Atomen von Inertgasen,
  • Für einen anharmonischen Oszillator sind die Pegel nicht äquidistant und die Auswahlregel Δn = ± 1 kaputt
  • wenn der Wert der Quantenzahl n bis ins Unendliche geht die Lösung in den Klassiker über.

Wenn Sie Fragen haben, schreiben Sie mir.

Quantenharmonischer Oszillator

Harmonischer Oszillator In der Quantenmechanik handelt es sich um ein Quantenanalogon eines einfachen harmonischen Oszillators, und es werden nicht die auf das Teilchen wirkenden Kräfte betrachtet, sondern der Hamilton-Faktor, dh die Gesamtenergie des harmonischen Oszillators, und die potentielle Energie wird als quadratisch von den Koordinaten abhängig angenommen. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

H ^ = p ^ 2 2 m + m ω 2 q ^ 2 2 <displaystyle !<hat >=<frac <<hat

>^<2>><2m>>+<frac <hat >^<2>><2>>>

В координатном представлении p ^ = − i ℏ ∂ / ∂ x <displaystyle <hat

>=-ihbar partial /partial x> , q ^ = x <displaystyle <hat >=x> . Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

− ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 ψ ( x ) + m ω 2 x 2 2 ψ ( x ) = E ψ ( x ) <displaystyle -<frac <hbar ^<2>><2m>><frac <partial ^<2>><partial x^<2>>>psi (x)+<frac x^<2>><2>>psi (x)=Epsi (x)>

Для E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) , n = 0 , 1 , 2 , … <displaystyle E_=hbar omega left(n+<1 over 2> ight) , n=0,1,2,ldots >

решение имеет вид:

ψ n (x) = 1 2 n n! (M ω π ℏ) 1/4 exp ⋅ (- m ω x 2 2 ℏ) H n (m ω ℏ x), < displaystyle psi _(x) = < frac <1> < sqrt <2 ^n! >>> cdot left (< frac < pi hbar >> right) ^ <1/4> cdot exp left (- < frac > <2 hbar >> rechts) cdot H_ left (< sqrt < frac >>x ight),>

Funktionen H n < displaystyle ! H_> - Einsiedlerpolynome:

H n (x) = (- 1) n e x 2 d n d x n e - x 2 < displaystyle H_(x) = (- 1) ^e ^> < frac <>><>>> e ^ <- x ^ <2> >>

Dieser Wertebereich E verdient Aufmerksamkeit aus zwei Gründen: Erstens sind die Energieniveaus diskret und gleichmäßig verteilt (äquidistant)das heißt, die Energiedifferenz zwischen zwei benachbarten Pegeln ist konstant und gleich ℏω < displaystyle hbar omega>, und zweitens ist der kleinste Energiewert ℏω / 2 < displaystyle hbar omega / 2>. Diese Ebene wird aufgerufen die Haupt, Vakuumoder Niveau von null Schwankungen.

Geburts- und Vernichtungsoperatoren

Mit den Operatoren kann ein viel einfacheres Spektrum eines harmonischen Oszillators erhalten werden der Geburt und Zerstörungmiteinander konjugiert.

Der Geburtsoperator ist ein ^ + < displaystyle < hat> ^ <+ >>, der Tötungsoperator ist ein ^ < displaystyle < hat >>, ihr Schalter ist

= a ^ a ^ + - a ^ + a ^ = i (p ^ q ^ - q ^ p ^) = 1 < displaystyle [< hat>, < hat> ^ <+>] = < hat > < hat> ^ <+> - < hat> ^ <+> < hat> = < frac < hbar >> (< hat

> < hat > - < hat > < hat

>)=1>

Unter Verwendung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wird der Hamilton-Operator eines Quantenoszillators in kompakter Form geschrieben:

Dabei ist n ^ = a ^ + a ^ < displaystyle ! < hat > = < hat> ^ <+> < hat >> - Operator der Ebenennummer (Polsternummern). Die Eigenvektoren eines solchen Hamilton-Operators sind Fock-Zustände, und die Darstellung der Lösung des Problems in dieser Form wird als "Darstellung der Anzahl der Teilchen" bezeichnet.

Anharmonischer Oszillator

Mit einem harmonischen Oszillator ist ein Oszillator mit einer nicht quadratischen Abhängigkeit der potentiellen Energie von der Koordinate gemeint. Die einfachste Annäherung des anharmonischen Oszillators ist die Annäherung der potentiellen Energie an den dritten Term in der Taylor-Reihe:

H ^ = p ^ 2 2 m + 1 2 m ω 2 q ^ 2 + λ q ^ 3 < displaystyle < hat > = << hat

> ^ <2> über 2m> + <1 über 2> m omega ^ <2> < hat > ^ <2> + lambda < hat >^<3>>

Die exakte Lösung des Energiespektrumproblems eines solchen Oszillators ist ziemlich mühsam. Es ist jedoch möglich, die Korrekturen der Energie zu berechnen, wenn wir davon ausgehen, dass der kubische Term im Vergleich zum quadratischen klein ist, und die Störungstheorie verwenden.

In der Darstellung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (der Darstellung der zweiten Quantisierung) ist der kubische Term

λ (≤ 2 mω) 3 2 (a ^ + a ^ +) 3. < displaystyle lambda left (< hbar over 2m omega> right) ^ <3 over 2> (< hat> + < hat> ^ <+>) ^ <3>.>

Dieser Operator hat keine diagonalen Elemente und daher fehlt die erste Korrektur der Störungstheorie. Zweite Korrektur zur Energie von willkürlichem kein Vakuum Zustand | ψ Eψ < displaystyle left | psi _ right rangle> ist gleich

Δ E (2) = λ 2 ≤ E | q 3 1 E - ℏ ω / 2 q 3 | ψ Eψ. < displaystyle Delta E ^ <(2)> = lambda ^ <2> left langle psi _ right | q ^ <3> <1 over E- hbar omega / 2> q ^ <3> left | psi _ right rangle.>

Mehrteilchen-Quantenoszillator

Im einfachsten Fall der Wechselwirkung mehrerer Teilchen können wir das Modell eines Vielteilchen-Quantenoszillators anwenden, das die Wechselwirkung benachbarter Teilchen nach einem quadratischen Gesetz impliziert:

H ^ = ∑ i = 1 N p ^ i 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ i j N (q ^ i - q ^ j) 2 < displaystyle < hat > = sum _^<< hat

>_^ <2> über 2 m> + <1 über 2> m omega ^ <2> sum _

Hier unter q ^ i < displaystyle < hat >_> und p ^ i < displaystyle < hat

>_> impliziert eine Abweichung von der Gleichgewichtsposition und dem Impuls des i < displaystyle ! i> -Partikels. Die Summierung erfolgt nur an benachbarten Partikeln.

Ein solches Modell führt zur theoretischen Rechtfertigung von Phononen-Bose-Quasiteilchen, die in einem Feststoff beobachtet werden.

Übergänge unter dem Einfluss äußerer Gewalt

Unter dem Einfluss einer externen Kraft f (t) < displaystyle ! F (t)> kann ein Quantenoszillator von einem Energieniveau (n < displaystyle n>) auf ein anderes (m < displaystyle m>) übergehen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Übergangs ist W n, m (t) < displaystyle ! W_(t)> für einen Oszillator ohne Dämpfung ist gegeben durch die Formel:

W n, m (t) = n! m! | δ | 2 (n - m) e x p (- | δ 2 | (L n m - n (| δ | 2)) 2) < displaystyle W_(t) = < frac > | delta | ^ <2 (n-m)> exp (- | delta ^ <2> | left (L_^(| delta | ^ <2>) right) ^ <2>)>,

wobei die Funktion δ (t) < displaystyle delta (t)> definiert ist als:

δ (t) = - i l ≤ 0 t f (τ) e x p (i ω τ) d τ < displaystyle delta (t) = - il hbar int limits _ <0> ^> ,

und L m m - n < displaystyle L_^> - Lagerra-Polynome.

Literatur

Landau, L. D., Lifshits, E. M. Quantenmechanik (nichtrelativistische Theorie). - 3. Auflage, überarbeitet und ergänzt. - M .: Nauka, 1974.- 752 p. - ("Theoretische Physik", Band III).

Harmonischer Oszillator (in der klassischen Mechanik) - ein System, das, wenn es aus seiner Gleichgewichtsposition entfernt wird, die Wirkung einer Rückstellkraft erfährt F proportional zum Offset x :

F = - k x < displaystyle F = -kx>,

wo k Ist ein konstanter Koeffizient.

Wenn F - Die einzige Kraft, die auf das System einwirkt, heißt das System einfach oder konservativer harmonischer Oszillator. Die freien Schwingungen eines solchen Systems sind periodische Bewegungen um die Gleichgewichtsposition (harmonische Schwingungen). Die Frequenz und Amplitude sind konstant und die Frequenz hängt nicht von der Amplitude ab.

Liegt auch eine Reibungskraft (Dämpfung) proportional zur Bewegungsgeschwindigkeit (viskose Reibung) vor, so spricht man von einem solchen System verblassen oder dissipativer Oszillator. Ist die Reibung nicht zu groß, führt das System eine nahezu periodische Bewegung aus - sinusförmige Schwingungen mit konstanter Frequenz und exponentiell abnehmender Amplitude. Die Frequenz der freien Schwingungen eines gedämpften Oszillators ist geringfügig niedriger als die eines ähnlichen Oszillators ohne Reibung.

Wenn der Oszillator sich selbst überlassen bleibt, sagt man, dass er frei schwingt. Wenn es eine externe Kraft gibt (abhängig von der Zeit), sagen sie, dass der Oszillator erzwungene Oszillationen erfährt.

Mechanische Beispiele für einen harmonischen Oszillator sind ein mathematisches Pendel (mit kleinen Auslenkungswinkeln), eine Belastung einer Feder, ein Torsionspendel und Lautsprecher. Unter den nichtmechanischen Analoga eines harmonischen Oszillators kann ein elektrischer harmonischer Oszillator unterschieden werden (siehe LC-Schaltung).

Die Quantenmechanik ist ein Teil der theoretischen Physik, der physikalische Phänomene beschreibt, bei denen die Wirkung in ihrer Größe mit der Planck-Konstante vergleichbar ist. Die Vorhersagen der Quantenmechanik können erheblich von den Vorhersagen der klassischen Mechanik abweichen. Da die Planck-Konstante im Vergleich zur Wirkung von Objekten bei makroskopischen Bewegungen extrem klein ist, manifestieren sich Quanteneffekte hauptsächlich im mikroskopischen Maßstab. Wenn die physikalische Wirkung des Systems viel größer ist als die Plancksche Konstante, verwandelt sich die Quantenmechanik organisch in klassische Mechanik. Die Quantenmechanik ist wiederum eine nichtrelativistische Approximation (d. H. Eine Approximation niedriger Energien im Vergleich zur Restenergie massereicher Teilchen eines Systems) der Quantenfeldtheorie.

Die klassische Mechanik, die makroskopische Skalensysteme gut beschreibt, kann nicht alle Phänomene auf der Ebene von Molekülen, Atomen, Elektronen und Photonen beschreiben. Die Quantenmechanik beschreibt die grundlegenden Eigenschaften und das Verhalten von Atomen, Ionen, Molekülen, kondensierter Materie und anderen Systemen mit elektronischer Kernstruktur angemessen. Die Quantenmechanik kann auch beschreiben: Das Verhalten von Elektronen, Photonen und anderen Elementarteilchen. Eine genauere relativistisch invariante Beschreibung der Transformationen von Elementarteilchen wird jedoch im Rahmen der Quantenfeldtheorie erstellt. Experimente bestätigen die Ergebnisse der Quantenmechanik.

Die Grundbegriffe der Quantenkinematik sind die Begriffe Observable und State.

Die Grundgleichungen der Quantendynamik sind die Schrödinger-Gleichung, die von Neumann-Gleichung, die Lindblad-Gleichung, die Heisenberg-Gleichung und die Pauli-Gleichung.

Die Gleichungen der Quantenmechanik sind eng mit vielen Bereichen der Mathematik verwandt, darunter: Operatortheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funktionsanalyse, Operatoralgebren, Gruppentheorie.

Quantenstring - in der Stringtheorie unendlich dünne eindimensionale Objekte von 10 bis 35 m Länge, deren Schwingungen die gesamte Vielfalt der Elementarteilchen reproduzieren. Die Art der Schwingungen der Saite bestimmt die Eigenschaften der Materie wie elektrische Ladung und Masse.

In der Physik der kondensierten Materie Quantendraht - Dies ist ein elektrisch leitender Draht, bei dem Quanteneffekte Transportphänomene beeinflussen. Aufgrund von Quantenbeschränkungen für die Leitungselektronen in der Querrichtung des Drahtes wird ihre Querenergie durch eine Anzahl von diskreten Werten quantisiert: <1 >> ,. (siehe Quantenharmonischer Oszillator). Eine der Konsequenzen dieser Quantisierung ist die klassische Formel zur Berechnung des elektrischen Widerstands eines Drahtes:

nicht gültig für einen Quantendraht (wobei: ρ < displaystyle rho> der spezifische Widerstand ist, l < displaystyle l> die Länge ist, A < displaystyle A> die Querschnittsfläche des Drahts ist).

Stattdessen sollte zur Berechnung des Drahtwiderstands eine genaue Berechnung der Querenergie der Elektronen auf engstem Raum durchgeführt werden. Aufgrund der diskreten Natur der Elektronenenergie wird der berechnete Widerstand ebenfalls quantisiert.

Der Einfluss von Quanteneffekten und die Bedeutung der Quantisierung nimmt umgekehrt mit dem Durchmesser des Nanodrahts für ein bestimmtes Material zu. Wenn wir verschiedene Materialien vergleichen, hängt die Bedeutung der Quantisierung von ihren elektronischen Eigenschaften ab, insbesondere von der effektiven Masse der Elektronen. Einfach ausgedrückt bedeutet dies, dass die Bedeutung davon abhängt, wie Leitungselektronen mit Atomen in einem bestimmten Material interagieren. In der Praxis zeigen Halbleiter einen deutlichen Effekt der Quantisierung der Leitfähigkeit bei ausreichend großen Querabmessungen des Drahtes (100 nm), da ihre elektronischen Niveaus aufgrund räumlicher Beschränkungen auch bei solchen Parametern ansteigen. Infolgedessen nimmt die Fermi-Wellenlänge der Elektronen zu und es tritt eine Aufspaltung in Energieniveaus mit einer ausreichend niedrigen Energie auf. Dies bedeutet, dass sie nur bei kryogenen Temperaturen (mehrere Grad Kelvin) auftreten können, wenn die thermische Anregungsenergie niedriger ist als die Energie der Übergänge zwischen Zuständen.

Die Wicksche Rotation ist eine Methode zur Lösung von Problemen im Minkowski-Raum, indem ein zusammenhängendes Problem im euklidischen Raum unter Verwendung einer komplexen Analyse, insbesondere des Konzepts der analytischen Fortsetzung, gelöst wird. Benannt nach Giancarlo Vic.

Die Heisenberg-Darstellung ist eine Möglichkeit, quantenmechanische Phänomene zu beschreiben, bei denen die Entwicklung des Systems durch die Heisenberg-Gleichung beschrieben und nur durch die Entwicklung der Operatoren in der Zeit bestimmt wird und der Zustandsvektor nicht von der Zeit abhängt.

In Phasenraumdarstellung Die Quantenmechanik interpretiert auf einheitliche Weise sowohl die Koordinaten als auch die Impulse der Teilchen, die den Phasenraum bilden, im Gegensatz zur Schrödinger-Behandlung, bei der die Koordinate ist oder Impulsdarstellungen (siehe Koordinaten- und Impulsräume [en]). Zwei Schlüsselelemente des physikalischen Bildes bei der Darstellung des Phasenraums sind: Der Quantenzustand wird beschrieben Quasi-Wahrscheinlichkeitsverteilung (anstelle der Wellenfunktion, Zustandsvektoren oder Dichtematrix), und der Multiplikationsoperator wird ersetzt Sternprodukt.

Die Theorie wurde 1946 von Hilbrand Grunevold in seiner Dissertation und unabhängig von Joe Moyale vollständig entwickelt. Jedes dieser Werke basierte auf früheren Ideen von Hermann Weil und Eugene Wigner.

Der Hauptvorteil der Quantenmechanik bei der Darstellung des Phasenraums besteht darin, dass sie die Quantenmechanik der Hamilton-Mechanik ähnlich macht, den Formalismus von Operatoren vermeidet und dadurch die Quantisierung der „Bürde“ des Hilbert-Raums „entlastet“. Diese Formulierung ist statistischer Natur und bietet logische Verbindungen zwischen der Quantenmechanik und der klassischen statistischen Mechanik, was einen natürlichen Vergleich zwischen ihnen in der sogenannten klassischen Grenze ermöglicht, d. H. Als ℏ → 0 < displaystyle hbar rightarrow 0>. Die Quantenmechanik im Phasenraum tritt in bestimmten Anwendungen der Quantenoptik häufig auf (siehe optischer Phasenraum [en]), wenn Dekohärenz und eine Reihe spezieller technischer Probleme untersucht werden, obwohl dieser Formalismus in der Praxis selten angewendet wird.

Die konzeptuellen Ideen, die der Entwicklung der Quantenmechanik im Phasenraum zugrunde liegen, sind in mathematischen Zweigen wie der algebraischen Deformationstheorie (siehe Kontsevichs Quantisierungsformel [en]) und der nichtkommutativen Geometrie enthalten.

Der Fock-Zustand ist ein quantenmechanischer Zustand mit einer genau definierten Anzahl von Partikeln. Benannt nach dem sowjetischen Physiker V.A. Fock.

Eindimensional, ohne Spin Mehrdimensional, spinfrei Maßgeschneiderter Spin

Sehen Sie sich das Video an: Quantenmechanik. Harald Lesch (Kann 2022).

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