Hilfreiche Ratschläge

So finden Sie die Oberfläche eines Prismas

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Zeichnen Sie das richtige Dreiecksprisma:

Wie wir sehen können, hat das Prisma zwei Basen, diese Basen sind regelmäßige Dreiecke mit der Seite a und drei Seiten, die Rechtecke mit den Seiten a und h sind

Auf diese Weise Fläche eines regelmäßigen Dreiecksprismas besteht aus zwei Bereichen der Sockel und drei Bereichen der Seitenflächen.

Wir setzen hier die Formel für die Fläche des Rechtecks ​​und die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks ein und erhalten:

Formeln zur Berechnung des Volumens und der Oberfläche eines Prismas:

Um die Formeln verständlich zu machen, führen wir die folgende Notation ein:

$ P_<осн>$ ist der Umfang der Basis,

$ S_<осн>$ - Grundfläche,

$ S_<бок>$ - Seitenfläche,

$ S_<п.п>$ ist die Gesamtfläche,

$ h $ ist die Höhe des Prismas.

An der Basis des Prismas können verschiedene Polygone liegen, betrachten Sie die Fläche einiger von ihnen.

An der Basis liegt ein Dreieck.

  1. $ S =/ <2> $, wobei $ h_a $ die Höhe ist, die seitlich von $ a $ gezeichnet wird
  2. $ S =/ <2> $, wobei $ a, b $ die benachbarten Seiten sind, $ α $ der Winkel zwischen diesen benachbarten Seiten ist.
  3. Herons Formel $ S = √$, wobei $ p $ das Semiperimeter $ p = ist/<2>$
  4. $ S = p · r $, wobei $ r $ der Radius des Inkreises ist
  5. $ S =/ <4R> $, wobei $ R $ der Radius des umschriebenen Kreises ist
  6. Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt $ S =/ <2> $, wobei $ a $ und $ b $ die Beine eines rechtwinkligen Dreiecks sind.

Betrachten Sie die Bereiche regulärer Polygone:

1. Für ein gleichseitiges Dreieck ist $ S =/ <4> $, wobei $ a $ die Länge der Seite ist.

$ S = a ^ 2 $, wobei $ a $ die Seite des Quadrats ist.

3. Das richtige Sechseck

Teilen Sie das Sechseck in sechs regelmäßige Dreiecke und finden Sie die Fläche wie folgt:

Finden Sie die Oberfläche des direkten Prismas, an dessen Basis eine Raute mit Diagonalen von 10 und 24 liegt und deren Seitenkante 20 beträgt.

Wir konstruieren ein direktes Prisma, an dessen Basis eine Raute liegt.

Wir schreiben die Formel für die Gesamtfläche:

In einem direkten Prisma ist die Höhe gleich der Seitenkante, daher ist $ h = С_1С = 20 $

Um den Umfang der Basis zu ermitteln, müssen Sie die Seite der Raute ermitteln. Betrachten Sie eines der rechten Dreiecke, die sich am Schnittpunkt der Diagonalen herausstellten, und verwenden Sie den Satz von Pythagoras.

Die Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt, sodass die Schenkel des rechten Dreiecks $ 5 $ und $ 12 $ sind.

Nun finden wir die Fläche der Basis: Die Fläche der Raute entspricht der Hälfte des Produkts ihrer Diagonalen.

Als nächstes setzen wir alle gefundenen Werte für die gesamte Oberfläche in die Formel ein und berechnen sie:

Ein Zylinder ist das gleiche Prisma, an dessen Basis ein Kreis liegt.

Ähnliche Prismen: Wenn alle linearen Dimensionen eines Prismas um das $ k $ -fache zunehmen, nimmt sein Volumen um das $ k ^ 3 $ -fache zu.

Die Mittellinie des Dreiecks verläuft parallel zur Basis und ist gleich der Hälfte.

$ MN $ ist die Mittellinie, da sie die Mittelpunkte benachbarter Seiten verbindet.

Die Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke werden als ähnlich bezeichnet, wenn ihre Winkel jeweils gleich sind und die Seiten eines Dreiecks um ein Vielfaches größer sind als die ähnlichen Seiten des anderen Dreiecks.

Die Zahl $ k $ ist ein Ähnlichkeitskoeffizient (zeigt an, wie oft die Seiten eines Dreiecks größer sind als die Seiten eines anderen Dreiecks.)

  1. Der Umfang solcher Dreiecke und ihre linearen Werte (Mediane, Bisektoren, Höhen) stehen als Ähnlichkeitskoeffizient $ k $ in Beziehung zueinander.
  2. Das Flächenverhältnis zweier ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten.

Rechteckiges Dreieck und seine Eigenschaften:

Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die Beine die beiden Seiten eines Dreiecks, die einen rechten Winkel bilden. Hypotenuse ist eine Seite, die einem rechten Winkel gegenüberliegt.

Einige Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks:

  1. Die Summe der spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck beträgt 90 Grad.
  2. Ein Bein eines rechtwinkligen Dreiecks, das einem Winkel von 30 Grad gegenüberliegt, entspricht der Hälfte der Hypotenuse. (Dieses Bein wird das Nebenbein genannt.)

Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht die Summe der Quadrate der Beine dem Quadrat der Hypotenuse.

Das Verhältnis zwischen Seiten und Ecken in einem rechtwinkligen Dreieck:

In einem rechtwinkligen Dreieck $ ABC $ mit einem rechten Winkel $ C $

Für einen spitzen Winkel $ B: AC $ - gegenüberliegendes Bein, $ BC $ - benachbartes Bein.

Für einen spitzen Winkel $ A: BC $ - gegenüberliegendes Bein, $ AC $ - benachbartes Bein.

  1. Der Sinus (sin) des spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der Gegenseite zur Hypotenuse.
  2. Der Cosinus (cos) des spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des benachbarten Beins zur Hypotenuse.
  3. Die Tangente (tg) des spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten.
  4. Der Kotangens (ctg) des spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der benachbarten Seite zur gegenüberliegenden Seite.
  5. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines spitzen Winkels gleich dem Cosinus eines anderen spitzen Winkels.
  6. Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens mit scharfen gleichen Winkeln sind gleich.
  7. Sinusse benachbarter Winkel sind gleich, und Cosinusse, Tangens und Cotangens werden durch Vorzeichen unterschieden: für scharfe Winkel positive Werte, für stumpfe Winkel negative Werte

Werte der trigonometrischen Funktionen einiger Winkel:

$α$$30$$45$$60$
$ sinα $$<1>/<2>$$<√2>/<2>$$<√3>/<2>$
$ cosα $$<√3>/<2>$$<√2>/<2>$$<1>/<2>$
$ tgα $$<√3>/<3>$$1$$√3$
$ ctgα $$√3$$1$$<√3>/<3>$

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