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Die Lösung quadratischer Gleichungen, die Formel der Wurzeln, Beispiele

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Abschnitte: Mathe

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur des ersten, sondern auch des zweiten Grades in der Antike zu lösen, wurde durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme zu lösen, die mit dem Auffinden der Gebiete von Land und Erdarbeiten militärischer Natur sowie mit der Entwicklung von Astronomie und Mathematik selbst verbunden sind.

Sie konnten um 2000 v. Chr. In Babylon quadratische Gleichungen lösen. Mit der modernen algebraischen Notation können wir sagen, dass es in ihren geschriebenen Texten neben unvollständigen auch vollständige quadratische Gleichungen gibt.

Definition

Gleichung der Form Axt 2 + bx + c = 0, wo a, b, c sind im Übrigen reelle Zahlen a ≠ 0 heißt die quadratische Gleichung.

Wenn a = 1, dann heißt die quadratische Gleichung reduziert wenn a ≠ 1, dann nicht reduziert.
Die zahlen a, b, c tragen die folgenden namen: a ist der erste Koeffizient, b - zweiter Koeffizient, c - ein freies Mitglied.

Wurzeln der Gleichung Axt 2 + bx + c = 0 werden durch die Formel gefunden

Ausdruck D = b 2 - 4ac genannt werden diskriminierend quadratische Gleichung.

  • wenn D 0, dann hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln.

In dem Fall, wenn D = 0 wird manchmal gesagt, dass die quadratische Gleichung zwei identische Wurzeln hat.

Formeln

Volle quadratische Gleichung

Unvollständige quadratische Gleichungen

Wenn in der quadratischen Gleichung Axt 2 + bx + c = 0 Sekunden Koeffizient b oder freies Mitglied c gleich Null, dann heißt die quadratische Gleichung unvollständig.

Unvollständige Gleichungen werden unterschieden, weil Sie zum Auffinden ihrer Wurzeln die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung nicht verwenden können. Es ist einfacher, die Gleichung zu lösen, indem Sie ihre linke Seite in Faktoren zerlegen.

Methoden zur Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen:

Lösung einer unvollständigen quadratischen Gleichung

Quadratische Gleichungen mit komplexen Variablen

Betrachten Sie zunächst die einfachste quadratische Gleichung z 2 = aDabei ist a eine gegebene Zahl und z eine unbekannte Zahl. Auf einer Menge von reellen Zahlen lautet diese Gleichung:

  1. hat eine Wurzel z = 0 wenn aber = 0,
  2. hat zwei gültige Wurzeln z1, 2 = ±√a
  3. Es hat keine gültigen Wurzeln wenn a 2 + x + 1 = 0.
    Löse die Gleichung. Erstellen Sie dazu zwei Diagramme y = x 2 , y = x + 1.

y = x 2, quadratische Funktion, Parabelgraph.
y = x + 1, lineare Funktion, der Graph ist gerade.

Die Graphen schneiden sich an zwei Punkten, die Gleichung hat zwei Wurzeln.
Die Antwort lautet: x ≈ -0,6, x ≈ 2,6.

Probleme mit quadratischen Gleichungen lösen

Die ProzesseGeschwindigkeit km / hZeit hEntfernung km.
Den Fluss hinauf10 - x35 / (10 - x)35
Upstream10 - x + 118 / (10 - x + 1)18
V Stromx
V Zuflussx + 1

Da wir wissen, dass die Geschwindigkeit in stehendem Wasser 10 km / h beträgt, stellen wir die Gleichung auf.

Was ist eine quadratische Gleichung? Ihre Typen

Zuerst müssen Sie klar verstehen, was eine quadratische Gleichung ist. Das Gespräch über quadratische Gleichungen beginnt daher logischerweise mit der Definition einer quadratischen Gleichung sowie verwandter Definitionen. Danach können Sie die Haupttypen quadratischer Gleichungen betrachten: reduzierte und nicht reduzierte sowie vollständige und unvollständige Gleichungen.

Definition und Beispiele von quadratischen Gleichungen

Quadratische Gleichung Ist eine Gleichung der Form a x 2 + b x x + c = 0 , wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind und a ungleich Null ist.

Wir müssen gleich sagen, dass quadratische Gleichungen oft Gleichungen zweiten Grades genannt werden. Dies liegt daran, dass die quadratische Gleichung ist algebraische Gleichung zweiter Grad.

Die angegebene Definition erlaubt es uns, Beispiele für quadratische Gleichungen zu nennen. Also 2 · x 2 + 6 · x + 1 = 0, 0,2 · x 2 + 2,5 · x + 0,03 = 0 usw. Sind quadratische Gleichungen.

Die Nummern a, b und c werden angerufen quadratische Koeffizienten a · x 2 + b · x + c = 0, und der Koeffizient a wird als erster oder höchster Koeffizient oder Koeffizient bei x 2 bezeichnet, b ist der zweite Koeffizient oder Koeffizient bei x, und c ist ein freier Term.

Zum Beispiel nehmen wir eine quadratische Gleichung der Form 5 · x 2 - 2 · x - 3 = 0, hier ist der führende Koeffizient 5, der zweite Koeffizient ist - 2 und der freie Term ist - 3. Bitte beachten Sie, dass, wenn die Koeffizienten b und / oder c wie im oben angegebenen Beispiel negativ sind, eine Kurzform zum Schreiben einer quadratischen Gleichung der Form 5 · x 2 - 2 · x - 3 = 0 und nicht 5 · x 2 + (- 2 ) X + (-3) = 0.

Es ist anzumerken, dass, wenn die Koeffizienten a und / oder b gleich 1 oder –1 sind, sie normalerweise nicht explizit in der quadratischen Gleichung vorhanden sind, die mit den Besonderheiten des Schreibens solcher numerischen Koeffizienten zusammenhängt. Beispielsweise ist in der quadratischen Gleichung y 2 - y + 3 = 0 der führende Koeffizient Eins und der Koeffizient für y ist –1.

Reduzierte und nicht reduzierte quadratische Gleichungen

Abhängig vom Wert des höchsten Koeffizienten werden die reduzierten und nicht reduzierten quadratischen Gleichungen unterschieden. Wir geben die entsprechenden Definitionen.

Die quadratische Gleichung, in der der führende Koeffizient 1 ist, wird aufgerufen quadratische Gleichung. Ansonsten ist die quadratische Gleichung nicht reduziert.

Nach dieser Definition sind die quadratischen Gleichungen x 2 - 3 · x + 1 = 0, x 2 - x - 2/3 = 0 usw. - In jedem von ihnen ist der erste Koeffizient gleich eins. Und 5x 2 −x - 1 = 0 usw. - nichtreduzierte quadratische Gleichungen, ihre höchsten Koeffizienten unterscheiden sich von 1.

Aus jeder nicht reduzierten quadratischen Gleichung können wir, indem wir beide Teile durch einen höheren Koeffizienten dividieren, das Obige ableiten. Diese Aktion ist eine äquivalente Transformation, dh die auf diese Weise erhaltene reduzierte quadratische Gleichung hat die gleichen Wurzeln wie die ursprüngliche nicht reduzierte quadratische Gleichung oder hat wie diese keine Wurzeln.

Schauen wir uns ein Beispiel an, wie der Übergang von einer nicht reduzierten quadratischen zu einer gegebenen Gleichung durchgeführt wird.

Gehen Sie aus der Gleichung 3 · x 2 + 12 · x - 7 = 0 zur entsprechenden reduzierten quadratischen Gleichung.

Es reicht aus, wenn wir beide Teile der ursprünglichen Gleichung durch den führenden Koeffizienten 3 teilen, der ungleich Null ist, damit wir diese Aktion ausführen können. Wir haben (3 · x 2 + 12 · x - 7): 3 = 0: 3, was dasselbe ist, (3 · x 2): 3+ (12 · x): 3-7: 3 = 0 und weiter (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 = 0, von wo aus. Wir haben also die reduzierte quadratische Gleichung erhalten, die der ursprünglichen entspricht.

Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen

Die Definition einer quadratischen Gleichung enthält die Bedingung a ≠ 0. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Gleichung a · x 2 + b · x + c = 0 genau quadratisch ist, da sie für a = 0 tatsächlich zu einer linearen Gleichung der Form b · x + c = 0 wird.

Die Koeffizienten b und c können sowohl einzeln als auch zusammen gleich Null sein. In diesen Fällen wird die quadratische Gleichung als unvollständig bezeichnet.

Die quadratische Gleichung a · x 2 + b · x + c = 0 heißt unvollständigwenn mindestens einer der Koeffizienten b, c gleich Null ist.

Volle quadratische Gleichung Ist eine Gleichung, in der alle Koeffizienten ungleich Null sind.

Solche Namen werden nicht zufällig vergeben. Aus den folgenden Überlegungen wird dies deutlich.

Wenn der Koeffizient b gleich Null ist, nimmt die quadratische Gleichung die Form a · x 2 + 0 · x + c = 0 an und ist äquivalent zu der Gleichung a · x 2 + c = 0. Wenn c = 0 ist, dh die quadratische Gleichung die Form a · x 2 + b · x + 0 = 0 hat, kann sie als a · x 2 + b · x = 0 umgeschrieben werden. Und für b = 0 und c = 0 erhalten wir die quadratische Gleichung a · x 2 = 0. Die erhaltenen Gleichungen unterscheiden sich von der vollständigen quadratischen Gleichung darin, dass ihre linken Teile weder einen Term mit der Variablen x noch einen freien Term oder beides enthalten. Daher ihr Name - unvollständige quadratische Gleichungen.

Die Gleichungen x 2 + x + 1 = 0 und –2 · x 2 –5 · x + 0,2 = 0 sind also Beispiele für vollständige quadratische Gleichungen, und x 2 = 0, –2 · x 2 = 0, 5 · x 2 + 3 = 0, −x 2 −5 · x = 0 sind unvollständige quadratische Gleichungen.

Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen

Aus den Angaben im vorhergehenden Absatz ergibt sich, dass drei Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen:

  • a x 2 = 0, die Koeffizienten b = 0 und c = 0 entsprechen ihm
  • a x 2 + c = 0, wenn b = 0 ist,
  • und a · x 2 + b · x = 0, wenn c = 0 ist.

Lassen Sie uns analysieren, wie die unvollständigen quadratischen Gleichungen jedes dieser Typen gelöst werden.

Wir beginnen mit der Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen, in denen die Koeffizienten b und c gleich Null sind, dh aus Gleichungen der Form a · x 2 = 0. Die Gleichung a · x 2 = 0 ist äquivalent zu der Gleichung x 2 = 0, die aus dem Original erhalten wird, indem beide Teile durch eine von Null verschiedene Zahl a geteilt werden. Offensichtlich ist die Wurzel der Gleichung x 2 = 0 Null, da 0 2 = 0 ist. Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was durch die Eigenschaften des Grades erklärt wird: Tatsächlich gilt für jede Nicht-Null-Zahl p die Ungleichung p 2> 0, was impliziert, dass für p ≠ 0 die Gleichheit p 2 = 0 niemals erreicht wird.

Die unvollständige quadratische Gleichung a · x 2 = 0 hat also eine eindeutige Wurzel x = 0.

Als Beispiel geben wir die Lösung der unvollständigen quadratischen Gleichung −4 · x 2 = 0 an. Die Gleichung x 2 = 0 ist äquivalent dazu, ihre einzige Wurzel ist x = 0, daher hat die ursprüngliche Gleichung eine eindeutige Wurzel Null.

Eine kurze Lösung kann in diesem Fall wie folgt erfolgen:
−4x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

Betrachten Sie nun, wie quadratische Teilgleichungen gelöst werden, in denen der Koeffizient b Null ist und c ≠ 0, dh Gleichungen der Form a · x 2 + c = 0. Wir wissen, dass die Übertragung des Terms von einem Teil der Gleichung auf den anderen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen sowie die Division beider Teile der Gleichung durch eine Zahl ungleich Null eine äquivalente Gleichung ergeben. Daher können wir die folgenden äquivalenten Transformationen der unvollständigen quadratischen Gleichung a · x 2 + c = 0 durchführen:

  • verschiebe c nach rechts, was die Gleichung a · x 2 = −c ergibt,
  • und teilen Sie beide Teile durch a, wir bekommen.

Die resultierende Gleichung erlaubt es uns, Rückschlüsse auf ihre Wurzeln zu ziehen. Abhängig von den Werten von a und c kann der Wert des Ausdrucks negativ sein (z. B. wenn a = 1 und c = 2, dann) oder positiv (z. B. wenn a = -2 und c = 6, dann), ist er nicht gleich Null , da nach Hypothese c c 0. Wir werden die Fälle und getrennt analysieren.

Wenn ja, dann hat die Gleichung keine Wurzeln. Diese Aussage folgt aus der Tatsache, dass das Quadrat einer beliebigen Zahl eine nicht negative Zahl ist. Daraus folgt, dass wenn für jede Zahl p die Gleichheit nicht wahr sein kann.

Wenn ja, ist die Situation mit den Wurzeln der Gleichung anders. In diesem Fall, wenn wir uns an die Quadratwurzel erinnern, wird die Wurzel der Gleichung sofort offensichtlich, es ist eine Zahl, da. Es ist leicht zu erraten, dass die Zahl auch die Wurzel der Gleichung ist. Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, die zum Beispiel durch die entgegengesetzte Methode gezeigt werden können. Lass es uns tun.

Wir bezeichnen die gerade ausgesprochenen Wurzeln der Gleichung als x1 und −x1 . Angenommen, die Gleichung hat eine andere Wurzel x2 verschieden von den angegebenen Wurzeln x1 und −x1 . Es ist bekannt, dass das Ersetzen der Gleichung durch die Wurzeln anstelle von x die Gleichung in eine echte numerische Gleichheit umwandelt. Für x1 und −x1 wir haben und für x2 haben. Die Eigenschaften von numerischen Gleichungen erlauben es uns, eine termweise Subtraktion von echten numerischen Gleichungen durchzuführen, so dass das Subtrahieren der entsprechenden Teile der Gleichungen x ergibt1 2 - x2 2 = 0. Eigenschaften von Aktionen mit Zahlen ermöglichen es uns, die resultierende Gleichheit wie folgt umzuschreiben: (x1−x2) · (X1+ x2) = 0. Wir wissen, dass das Produkt zweier Zahlen genau dann gleich Null ist, wenn mindestens eine davon gleich Null ist. Daher folgt aus der resultierenden Gleichheit, dass x1−x2= 0 und / oder x1+ x2= 0, was dasselbe ist, x2= x1 und / oder x2= −x1 . So sind wir zu einem Widerspruch gekommen, da wir zu Beginn gesagt haben, dass die Wurzel der Gleichung x ist2 verschieden von x1 und −x1 . Dies beweist, dass die Gleichung keine anderen Wurzeln als und hat.

Fassen Sie die Informationen dieses Absatzes zusammen. Die unvollständige quadratische Gleichung a · x 2 + c = 0 ist äquivalent zu der Gleichung welche

  • hat keine wurzeln wenn,
  • hat zwei Wurzeln und wenn.

Betrachten Sie Beispiele für die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen der Form a · x 2 + c = 0.

Wir beginnen mit der quadratischen Gleichung 9x 2 + 7 = 0. Nachdem der freie Term auf die rechte Seite der Gleichung übertragen wurde, hat er die Form 9 · x 2 = −7. Teilen wir beide Seiten der resultierenden Gleichung durch 9, erhalten wir. Da auf der rechten Seite eine negative Zahl erhalten wurde, hat diese Gleichung keine Wurzeln, daher hat die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung 9 · x 2 + 7 = 0 keine Wurzeln.

Wir lösen eine weitere unvollständige quadratische Gleichung −x 2 + 9 = 0. Verschiebe die Neun nach rechts: −x 2 = −9. Teilen Sie nun beide Seiten durch −1, wir erhalten x 2 = 9. Auf der rechten Seite steht eine positive Zahl, aus der wir schließen, dass oder. Nach dem Extrahieren der Wurzel schreiben wir die endgültige Antwort: Die unvollständige quadratische Gleichung −x 2 + 9 = 0 hat zwei Wurzeln x = 3 oder x = −3.

Es bleibt die Lösung des letzteren Typs von unvollständigen quadratischen Gleichungen für c = 0 zu behandeln. Unvollständige quadratische Gleichungen der Form a · x 2 + b · x = 0 können Sie lösen Factoring-Methode. Offensichtlich können wir das Polynom auf der linken Seite der Gleichung faktorisieren, wofür es ausreicht, den gemeinsamen Faktor x herauszurechnen. Dies ermöglicht es uns, von der anfänglichen unvollständigen quadratischen Gleichung zu einer äquivalenten Gleichung der Form x · (a · x + b) = 0 überzugehen. Und diese Gleichung entspricht der Kombination zweier Gleichungen x = 0 und a · x + b = 0, von denen die letzte linear ist und die Wurzel x = −b / a hat.

Die unvollständige quadratische Gleichung a · x 2 + b · x = 0 hat also zwei Wurzeln x = 0 und x = –b / a.

Um das Material zu konsolidieren, werden wir die Lösung eines bestimmten Beispiels analysieren.

Setzen Sie x aus den Klammern, um eine Gleichung zu erhalten. Es ist äquivalent zu den beiden Gleichungen x = 0 und. Wir lösen die erhaltene lineare Gleichung: und nachdem wir die gemischte Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch dividiert haben, finden wir. Daher sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung x = 0 und.

Nach dem Erlernen der erforderlichen Praxis können Lösungen für solche Gleichungen kurz geschrieben werden:

Die Diskriminante, die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung

Zur Lösung quadratischer Gleichungen gibt es eine Wurzelformel. Wir schreiben die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung: wo D = b 2 -4 - die sogenannte Diskriminante der quadratischen Gleichung. Aufnahme bedeutet im Wesentlichen, dass.

Es ist nützlich zu wissen, wie die Wurzelformel erhalten wurde und wie sie zum Finden der Wurzeln quadratischer Gleichungen verwendet wird. Wir werden uns darum kümmern.

Herleitung der Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung

Angenommen, wir müssen die quadratische Gleichung a · x 2 + b · x + c = 0 lösen. Wir führen einige äquivalente Transformationen durch:

  • Wir können beide Teile dieser Gleichung durch eine Nicht-Null-Zahl a dividieren, und als Ergebnis erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung.
  • Jetzt wähle ein ganzes Quadrat aus in seinem linken Teil :. Danach nimmt die Gleichung die Form an.
  • In diesem Stadium können wir die Übertragung der letzten beiden Terme auf die rechte Seite mit dem entgegengesetzten Vorzeichen durchführen.
  • Und wir werden den Ausdruck auf der rechten Seite transformieren:

Als Ergebnis erhalten wir eine Gleichung, die der ursprünglichen quadratischen Gleichung a · x 2 + b · x + c = 0 entspricht.

Wir haben ähnliche Formgleichungen bereits in den vorhergehenden Absätzen gelöst, als wir die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen analysierten. Dies erlaubt uns die folgenden Schlussfolgerungen bezüglich der Wurzeln der Gleichung zu ziehen:

  • wenn, dann hat die Gleichung keine realen Lösungen,
  • Wenn, dann hat die Gleichung die Form, von daher ist ihre einzige Wurzel sichtbar.
  • wenn, dann ist das entweder dasselbe oder die Gleichung hat zwei Wurzeln.

Somit hängt das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der Gleichung und damit der ursprünglichen quadratischen Gleichung vom Vorzeichen des Ausdrucks auf der rechten Seite ab. Das Vorzeichen dieses Ausdrucks wird wiederum durch das Vorzeichen des Zählers bestimmt, da der Nenner 4 · a 2 immer positiv ist, dh das Vorzeichen des Ausdrucks b 2 - 4 · a · c. Dieser Ausdruck b 2 - 4 · a · c wurde aufgerufen Diskriminante der quadratischen Gleichung und mit dem Buchstaben markiert D. Daraus ergibt sich die Essenz der Diskriminante - durch ihren Wert und ihr Vorzeichen schließen sie, ob die quadratische Gleichung echte Wurzeln hat, und wenn ja, was ist ihre Nummer - eins oder zwei.

Wir kehren zur Gleichung zurück und schreiben sie mit der Notation der Diskriminante: um. Und wir schließen daraus:

  • wenn D, dann hat diese Gleichung keine reellen Wurzeln,
  • wenn D = 0, dann hat diese Gleichung eine einzige Wurzel,
  • Ist schließlich D> 0, so hat die Gleichung zwei Wurzeln oder, die aufgrund der Eigenschaften der Radikale als oder umgeschrieben werden können, und nach Erweiterung des Moduls und Reduzierung der Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erhalten wir.

Wir haben also die Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung abgeleitet, sie haben die Form, in der die Diskriminante D durch die Formel D = b 2 - 4 · a · c berechnet wird.

Mit ihrer Hilfe können Sie mit einer positiven Diskriminante beide reellen Wurzeln der quadratischen Gleichung berechnen. Bei einer Diskriminante gleich Null geben beide Formeln den gleichen Wurzelwert an, was einer eindeutigen Lösung der quadratischen Gleichung entspricht. Und mit einer negativen Diskriminante sehen wir uns beim Versuch, die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung zu verwenden, mit der Extraktion der Quadratwurzel einer negativen Zahl konfrontiert, die uns über reelle Zahlen und den Lehrplan der Schule hinausführt. Bei einer negativen Diskriminante hat die quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln, sondern ein Paar komplexes Konjugat Wurzeln, die durch die gleichen Wurzelformeln gefunden werden können, die wir erhalten haben.

Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe von Wurzelformeln

In der Praxis können Sie beim Lösen quadratischer Gleichungen sofort die Wurzelformel verwenden, mit der ihre Werte berechnet werden. Es geht aber mehr darum, komplexe Wurzeln zu finden.

Bei einem Schulkurs in Algebra geht es jedoch in der Regel nicht um komplexe, sondern um die realen Wurzeln der quadratischen Gleichung. In diesem Fall ist es ratsam, zuerst die Diskriminante zu finden, bevor die Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung verwendet werden, sicherzustellen, dass sie nicht negativ ist (andernfalls können wir schließen, dass die Gleichung keine reellen Wurzeln hat), und danach die Werte der Wurzeln zu berechnen.

Die obigen Überlegungen erlauben es uns zu schreiben Algorithmus für quadratische Gleichungen. Um die quadratische Gleichung a · x 2 + b · x + c = 0 zu lösen, müssen Sie:

  • unter Verwendung der Diskriminanzformel D = b 2 - 4 · a · c ihren Wert berechnen,
  • schlussfolgern, dass die quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln hat, wenn die Diskriminante negativ ist,
  • Berechnen Sie die einzige Wurzel der Gleichung mit der Formel, wenn D = 0 ist.
  • Finden Sie mit der Wurzelformel zwei reelle Wurzeln der quadratischen Gleichung, wenn die Diskriminante positiv ist.

Hier stellen wir nur fest, dass man für eine Diskriminante gleich Null auch die Formel verwenden kann, die den gleichen Wert ergibt wie.

Wir können mit Beispielen für die Anwendung des Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen fortfahren.

Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen

Рассмотрим решения трех квадратных уравнений с положительным, отрицательным и равным нулю дискриминантом. Разобравшись с их решением, по аналогии можно будет решить любое другое квадратное уравнение. Начнем.

Найдите корни уравнения x 2 +2·x−6=0 .

In diesem Fall haben wir die folgenden Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a = 1, b = 2 und c = –6. Nach dem Algorithmus müssen wir zuerst die Diskriminante berechnen, indem wir die angegebenen a, b und c in die Diskriminanzformel einsetzen. Wir haben D = b 2 - 4 · a - c = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28 . Da 28> 0, dh die Diskriminante größer als Null ist, hat die quadratische Gleichung zwei reelle Wurzeln. Wir finden sie durch die Formel der Wurzeln, die wir erhalten, hier können Sie den resultierenden Ausdruck vereinfachen, indem Sie tun das Wurzelzeichen ausklammern mit anschließender Fraktionsreduktion:

Wir gehen zum folgenden charakteristischen Beispiel über.

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