Hilfreiche Ratschläge

Konvertieren von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes

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Der Mikroprozessor verwendet ein binäres Zahlensystem zur Darstellung von Zahlen.
Darüber hinaus kann jedes digitale Signal zwei stabile Zustände haben: "High Level" und "Low Level". Im binären System werden zwei Zahlen für das Bild einer beliebigen Zahl verwendet: 0 und 1. Eine beliebige Zahl x = anan-1..a1a0a-1a-2... a-m geschrieben in binärer Notation als

wo aich - Binärziffern (0 oder 1).

Hexadezimale Schreibweise

In der hexadezimalen Notation sind die Basisziffern Ziffern von 0 bis einschließlich 15. Um Grundziffern größer als 9 mit einem Zeichen zu kennzeichnen, verwendet das hexadezimale Zahlensystem zusätzlich zu den arabischen Ziffern 0 bis 9 die Buchstaben des lateinischen Alphabets:

Zum Beispiel die Nummer 17510 in hexadezimaler Schreibweise wird als AF geschrieben16. In der Tat

10·16 1 +15·16 0 =160+15=175

Die Tabelle zeigt Zahlen von 0 bis 16 in Dezimal-, Binär-, Oktal- und Hexadezimalschreibweise.

DezimalzahlBinärOktalHexadezimal
0000
1111
21022
31133
410044
510155
611066
711177
81000108
91001119
10101012A
11101113B
12110014C
13110115D
14111016E
15111117F
16100002010

Binär-Oktal- und Binär-Hexadezimal-Konvertierungen

Das Binärzahlensystem ist praktisch zum Durchführen von arithmetischen Operationen unter Verwendung von Mikroprozessorhardware, ist jedoch für die menschliche Wahrnehmung unpraktisch, da es eine große Anzahl von Ziffern erfordert. Daher werden in der Computertechnologie neben dem Binärzahlensystem häufig auch Oktal- und Hexadezimalzahlensysteme für eine kompaktere Darstellung von Zahlen verwendet.

Drei Ziffern des Oktalzahlensystems implementieren alle möglichen Kombinationen von Oktalzahlen im Binärzahlensystem: von 0 (000) bis 7 (111). Um eine Binärzahl in ein Oktal umzuwandeln, müssen Sie die Binärziffern in Gruppen von 3 Ziffern (Triaden) in zwei Richtungen kombinieren, beginnend mit dem Trennzeichen zwischen Ganzzahl und Bruchteil. Falls erforderlich, sollten unbedeutende Nullen links von der ursprünglichen Nummer eingefügt werden. Wenn die Zahl einen Bruchteil enthält, können auch unbedeutende Nullen rechts davon hinzugefügt werden, bis alle Triaden gefüllt sind. Dann wird jede Triade durch eine Oktalziffer ersetzt.


Beispiel: Konvertieren Sie die Nummer 1101110.012 in das Oktalzahlensystem.

Kombinieren Sie Binärziffern von rechts nach links zu Triaden. Wir bekommen

Um eine Zahl aus dem Oktalsystem in eine Binärzahl umzuwandeln, müssen Sie jede Oktalzahl mit ihrem Binärcode schreiben:


Vier Stellen des Hexadezimalzahlensystems implementieren alle möglichen Kombinationen von Hexadezimalzahlen im Binärzahlensystem: von 0 (0000) bis F (1111). Um eine Binärzahl in Hexadezimalzahl umzuwandeln, müssen Sie Binärziffern in Gruppen von 4 Ziffern (Tetraden) in zwei Richtungen kombinieren, beginnend mit dem Trennzeichen zwischen Ganzzahl und Bruchteil. Falls erforderlich, sollten unbedeutende Nullen links von der ursprünglichen Nummer eingefügt werden. Wenn die Zahl einen Bruchteil enthält, müssen Sie rechts davon auch unbedeutende Nullen hinzufügen, um alle Tetraden zu füllen. Dann wird jede Tetrade durch eine hexadezimale Ziffer ersetzt.

Beispiel: Konvertieren Sie die Zahl 1101110.112 in hexadezimaler Notation.

Kombinieren Sie Binärzahlen von rechts nach links zu Notizbüchern. Wir bekommen

Um eine Zahl aus dem Hexadezimalsystem in eine Binärzahl zu übersetzen, müssen Sie jede Hexadezimalziffer mit einem Binärcode schreiben:

Ganzzahlige Umwandlung

Um zu übertragen, müssen Sie die ursprüngliche Nummer auf der Grundlage des neuen Nummernsystems teilen, bis Sie den gesamten Rest erhalten, der die niedrigstwertige Ziffer im neuen Nummernsystem (Einheit) ist. Der resultierende Quotient wird erneut durch die Basis des Systems usw. dividiert, bis der Quotient kleiner als die Basis des neuen Zahlensystems wird. Alle Operationen werden im ursprünglichen Nummernsystem ausgeführt.

Betrachten Sie beispielsweise die Umwandlung einer Zahl von einem Dezimalzahlensystem in ein Binärzahlensystem.

Nehmen Sie eine Dezimalzahl und teilen Sie sie durch die Basis des Binärsystems, also durch die Zahl 2. Wir werden durch eine Ecke teilen:

Als Ergebnis der ersten Division erhalten wir die Entladung von Einheiten (die am wenigsten signifikante Entladung). Als Ergebnis der zweiten Division erhalten wir die Kategorie der Zweien. Wir setzen die Division fort, bis das Divisionsergebnis mehr als zwei beträgt. Am Ende der Konvertierungsoperation haben wir die Binärzahl 1111100 erhalten2.

Nun werden wir die gleiche Zahl in das Oktalzahlensystem übersetzen. Dafür die Nummer 12410 Teilen Sie durch die Zahl 8:

Wie wir sehen können, ist der Rest der ersten Division 4. Das heißt, die am wenigsten signifikante Ziffer der Oktalzahl enthält 4. Der Rest der zweiten Division ist 7. Das heißt, die zweite Ziffer der Oktalzahl ist 7. Die höchste Ziffer ist 1. Das heißt, als Ergebnis eines Vielfachen Abteilungen bekamen wir die Oktalzahl 1748.

Überprüfen Sie, ob wir beim Konvertierungsvorgang einen Fehler gemacht haben. Dazu transformieren wir die resultierende Binärzahl nach der üblichen Zerlegungsformel in ein Dezimalsystem:

Ist es möglich, vom Oktalzahlensystem in die Binärdivision zu übersetzen? Sie können! Die Aufteilung muss aber nach den Regeln der Oktalarithmetik erfolgen. Die Regeln für das Arbeiten im Oktalzahlensystem werden im nächsten Kapitel besprochen. Betrachten Sie der Vollständigkeit halber dennoch ein Beispiel für die binäre Konvertierung der zuvor erhaltenen Oktalzahl 1748. Teilen Sie es auf der Basis des neuen Zahlensystems 2.

Da wir überzeugt waren, eine Division im Oktalsystem durchzuführen, ist dies sehr unpraktisch, da wir unbewusst im Dezimalzahlensystem dividieren. Beachten wir die Tatsache, dass die Zahl 8 eine Potenz von 2 ist. Das heißt, Sie können sich das Oktalzahlensystem als eine kürzere Notation für eine Binärzahl vorstellen. Dies bedeutet, dass Sie drei Binärbits (8 = 2 3) verwenden können, um eine Oktalziffer darzustellen. Machen wir eine Entsprechungstabelle. Es ist in Tabelle 1 gezeigt.

Tabelle 1. Zuordnungstabelle für Oktal- und Binärcode

BinärcodeOktalzahlDezimaläquivalent
00000
00111
01022
01133
10044
10155
11066
11177

Mit dieser Tabelle können Sie einfach jede Oktalziffer durch drei Binärbits ersetzen. Drei binäre Bits werden üblicherweise als Triade oder Tribit bezeichnet. Konvertieren wir nun die Oktalzahl 1748 mit Hilfe von Tabelle 7 in eine Binärzahl:

Ebenso können Sie eine Zahl von binär in oktal konvertieren. Dazu wird die Binärzahl in Bezug auf die am weitesten rechts stehende Ziffer (oder das Binärkomma) in Triaden unterteilt und in Tabelle 7 jeder Triade eine Oktalziffer zugewiesen.

Ebenso können Sie eine Zahl von hexadezimal nach binär und umgekehrt übersetzen. In diesem Fall sind vier Binärziffern erforderlich, um die hexadezimale Ziffer darzustellen. Vier Binärziffern werden normalerweise als Tetrade bezeichnet. Manchmal wird bei der Übersetzung ausländischer Bücher der Begriff nibl verwendet.

Lassen Sie uns eine Entsprechungstabelle zwischen binären Tetraden und hexadezimalen Ziffern erstellen. Dazu addieren wir einfach einen Wert zum Wert der vorherigen Zeile in jeder Spalte der Tabelle, entsprechend dem in dieser Spalte verwendeten Zahlensystem. Das Ergebnis ist in Tabelle 2 gezeigt.

Als Beispiel für die Verwendung von Tabelle 2 übersetzen wir die Hexadezimalzahl 7C16 in binärer Form:

Tabelle 2. Hexadezimal- und Binärcode-Konvertierungstabelle

BinärcodeOktalzahlDezimaläquivalent
000000
000111
001022
001133
010044
010155
011066
011177
100088
100199
1010aa
1011bb
1100cc
1101dd
1110ee
1111ff

Ein Beispiel für die Konvertierung einer Binärzahl in eine Oktal- und eine Hexadezimalzahl ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1. Ein Beispiel für die Konvertierung einer Binärzahl in eine Oktal- und eine Hexadezimalzahl.

In der folgenden Abbildung werden binäre Notizbücher und ihre entsprechenden hexadezimalen Ziffern hervorgehoben. Ihre Übereinstimmung kann anhand von Tabelle 2 überprüft werden. Die Triaden und die entsprechenden Oktalziffern sind oben hervorgehoben. Die älteste Triade war unvollständig. Es muss mit führenden unbedeutenden Nullen ergänzt werden, um Tabelle 1 verwenden zu können.

Zusammen mit dem Artikel "Konvertieren von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes" lesen sie:

Nummernumrechnungstabelle

Dezimal-SSBinäre ssQuartäre SSOktal SSHex SS
11111
210222
311333
41001044
51011155
61101266
71111377
8100020108
9100121119
1010102212A
1110112313B
1211003014C
1311013115D
1411103216E
1511113317F
16100001002010

Wie man eine Zahl aus einem Binärzahlensystem übersetzt

Um eine Zahl von einem binären Zahlensystem in ein quaternäres, oktales oder hexadezimales System zu übersetzen, müssen Sie den Übersetzungsalgorithmus verwenden:

  1. Teilen Sie die Binärzahl von rechts nach links in Gruppen von 2 (für quaternäre SS), 3 (für oktale SS) oder 4 (für hexadezimale SS) Ziffern. Wenn die Zahlen für die gesamte Gruppe links nicht ausreichen, müssen Sie die erforderliche Anzahl unbedeutender Nullen hinzufügen.
  2. Ersetzen Sie jede Zahlengruppe durch das entsprechende Analogon im entsprechenden Zahlensystem.

Rechne die Nummer 111100110 um2 von binär zu quaternär.

Wir zerlegen die Zahl in zweistellige Gruppen von rechts nach links und ersetzen jede Gruppe durch ein Analogon im quaternären Zahlensystem aus der Tabelle:

1111001102 = 01 11 10 01 10 = 132124

Rechne die Nummer 111100110 um2 von binär zu oktal.

Wir teilen die Zahl von rechts nach links in 3-stellige Gruppen auf und ersetzen jede Gruppe durch ein Analogon im Oktalzahlensystem aus der Tabelle:

1111001102 = 111 100 110 = 7468

Rechne die Nummer 111100110 um2 von binär nach hexadezimal.

Wir teilen die Zahl von rechts nach links in 4-stellige Gruppen auf und ersetzen jede Gruppe durch ein Analog in hexadezimaler Schreibweise aus der Tabelle:

1111001102 = 0001 1110 0110 = 1E616

Wie konvertiert man eine Zahl in eine Binärzahl?

Um eine Zahl von einem quaternären, oktalen oder hexadezimalen Zahlensystem in ein binäres zu übersetzen, müssen Sie den Übersetzungsalgorithmus verwenden:

  1. Ersetzen Sie jede Ziffer durch ein binäres Analog, das aus 2 (für quaternäre), 3 (für oktale) oder 4 (für hexadezimale) Ziffern besteht. Bei Bedarf wird die Zahl links mit Nullen aufgefüllt.
  2. Nullen aus der Liste streichen.

Rechne die Zahl 120323 um4 vom quaternären System zum binären.

Wir ersetzen jede Ziffer durch eine Gruppe von 2 Ziffern im Binärzahlensystem:

1203234 = 01 10 00 11 10 11 = 110001110112

Rechne die Zahl 26475030 um8 von oktal nach binär.

Wir ersetzen jede Ziffer durch eine Gruppe von 3 Ziffern im Binärzahlensystem:

264750308 = 010 110 100 111 101 000 011 000 = 101101001111010000110002

Wandle die Zahl 2AC0F74 um16 von hexadezimal nach binär.

Wir ersetzen jede Ziffer durch eine Gruppe von 4 Ziffern im Binärzahlensystem:

2AC0F7416 = 0010 1010 1100 0000 1111 0111 0100 = 101010110000001111011101002

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Algorithmus zur Übersetzung von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes

Beispiel Nr. 1


Übersetzung von 2 auf 8 bis 16 Zahlensystem.
Diese Systeme sind Vielfache von zwei, daher erfolgt die Übersetzung unter Verwendung der Entsprechungstabelle (siehe unten).

Um eine Zahl aus dem Binärzahlensystem in eine Oktalzahl (hexadezimal) umzuwandeln, müssen Sie die Binärzahl vom Komma aus nach rechts und links in Dreiergruppen (vier für hexadezimal) unterteilen und die äußersten Gruppen gegebenenfalls mit Nullen auffüllen. Jede Gruppe wird durch die entsprechende Oktal- oder Hexadezimalzahl ersetzt.

Beispiel Nr. 2 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272.518
hier 001 = 1, 010 = 2, 111 = 7, 010 = 2, 101 = 5, 001 = 1

Bei der Umrechnung in das Hexadezimalsystem ist es erforderlich, die Zahl in vierstellige Teile zu unterteilen, wobei dieselben Regeln zu beachten sind.
Beispiel Nr. 3 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13Hex
hier 0010 = 2, 1011 = B, 1010 = 12, 1011 = 13

Die Übersetzung der Zahlen von 2, 8 und 16 in das Dezimalsystem des Kalküls erfolgt durch Zerlegen der Zahl in einzelne und Multiplizieren mit der Basis des Systems (aus dem die Zahl konvertiert wird), die auf die Potenz erhöht wird, die ihrer Ordnungszahl in der übersetzten Zahl entspricht. In diesem Fall werden die Zahlen mit zunehmendem Wert links vom Komma nummeriert (die erste Zahl ist die Zahl 0) und mit abnehmendem Wert rechts (d. H. Mit negativem Vorzeichen). Die erhaltenen Ergebnisse werden aufsummiert.

Beispiel Nr. 4
Beispiel für die Konvertierung vom Binär- in das Dezimalzahlensystem. Ein Beispiel für eine Konvertierung von einem Oktal- in ein Dezimalzahlensystem. Ein Beispiel für eine Konvertierung von hexadezimal nach dezimal.

Sehen Sie sich das Video an: Das Binärsystem Dualsystem ft. brainfaqk Gehe auf & werde #EinserSchüler (Oktober 2021).

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