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Wie finde ich die Ordnung eines Polynoms?

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Die Begriffe Monom und Polynom werden häufig verwechselt.

Mal sehen, was als Monom und was als Polynom bezeichnet wird. Erinnern Sie sich zunächst an das, was in der Lektion „Monomials“ als Monomial bezeichnet wurde.

Beachten Sie, dass das „Innere“ des Monoms (zwischen den Buchstaben und dem numerischen Koeffizienten) nur ein Multiplikationszeichen ist. Zum Beispiel im Monom: 3ab = 3 · a · b

Polynom nannte die algebraische Summe mehrerer Monome.

Die Monome, aus denen sich das Polynom zusammensetzt, heißen Glieder des Polynoms.

Beispiele für Polynome: a + 2b 2 - c, 3t 5 - 4b, 4 - 6xy

Es ist leicht zu erkennen, dass jedes Polynom aus mehreren Monomen besteht.

Betrachten Sie das Polynom genauer.

Die Frage ist, warum die algebraische Summe von Monomen als Polynom bezeichnet wird, wenn das Polynom ein Minuszeichen enthält.

Dies liegt daran, dass sich das Zeichen "-" auf den numerischen Koeffizienten des Monoms bezieht, der sich rechts vom Zeichen befindet.

Jedes Polynom kann nach der Vorzeichenregel als Summe von Monomen geschrieben werden.

In einem Polynom bezieht sich das Zeichen links vom Monom auf den numerischen Koeffizienten des Monoms.

Grad von Polynomen

PolynomGrad von
Polynom
a 2 - 3a 2 b + x =
a 2 (Monomialgrad 2) - 3a 2 b(monomialer Grad 3) + x(monomialer Grad 1)
3
1
3
x 2 y 2 + 4x 2 =
1
3
x 2 y 2 (monomialer Grad 4) + 4x 2 (Monomialgrad 2)
4
8x 2 - 3a + 4 =
8x 2 (Monomialgrad 2) - 3a(monomialer Grad 1) + 4(Monomialgrad 0)
2

Jedes Monom ist ein Polynom. Tatsächlich ist jedes Monom ein Polynom, das nur aus einem Monom besteht.

Beispiele für solche Polynome: 2a 2 b, -3d 3, a.

Polynom - die Summe mehrerer Monome im Ausdruck

Das Wesentliche des Begriffs zu erfassen, ist sehr einfach. Wenn Monome Zahlen, Variablen und Grade sind, die untereinander multipliziert sind, dann Polynome - Dies sind Monome, die miteinander addiert werden.

Betrachten Sie ein Beispiel.

  • Die Ausdrücke 5 × 3 und 6ab, getrennt genommen, werden als Monome betrachtet.
  • Wenn Sie sie jedoch addieren (5x 3 y + 6ab), erhalten Sie einen polynomialen Ausdruck.
  • Darüber hinaus werden beide Teile des Polynoms seine einzelnen Mitglieder sein.

Ein Polynom ist ein Ausdruck, bei dem Monome addiert werden. Anstelle eines gebräuchlichen Namens können jedoch auch spezifischere verwendet werden. Beispielsweise wird ein Ausdruck, der aus zwei solchen Teilen besteht, als Binomial bzw. aus drei Teilen als Trinomial bezeichnet.

Ordnung ist ein Polynom

Die Reihenfolge der Polynome N (q) und M (q) ist bekannt.

Um die Ordnung eines Polynoms zu bestimmen, ist es ausgehend vom höchsten Grad erforderlich, seine Glieder in zwei Teile zu gruppieren. So ist beispielsweise i - - x ein Polynom zweiter Ordnung und 1 x - ein Polynom dritter Ordnung.

Wenn die Ordnung des Polynoms zunimmt, nimmt die Genauigkeit der Beschreibung zu, gleichzeitig wird die Interpretation des Modells jedoch komplizierter - eine Analyse des Einflusses jeder Eingabe. Je mehr Koeffizienten eine Gleichung enthält, desto mehr Experimente müssen gefunden werden: Die minimale Anzahl von Experimenten entspricht der Anzahl von Koeffizienten, und um die Angemessenheit beurteilen zu können, sind mehr Experimente erforderlich, als es Koeffizienten geben wird. Gleichungen höherer Ordnung als die dritte (mit mehr als einem Argument) sind in der Praxis selten anzutreffen.

Mit zunehmender Ordnung des Polynoms nimmt die Genauigkeit der Beschreibung zu, gleichzeitig wird jedoch die Interpretation des Modells komplizierter - Analyse des Einflusses der einzelnen Eingaben.

Wenn die Ordnung des Polynoms zunimmt, nimmt die Genauigkeit der Beschreibung zu, jedoch wird die Bestimmung der Koeffizienten (b) komplizierter, da je mehr Koeffizienten vorhanden sind, desto mehr Experimente müssen durchgeführt werden. Daher ist es bei der Erstellung statistischer Modelle üblich, Polynome maximal dritter Ordnung zu verwenden.

Wir bezeichnen das Argument x und die Ordnung des Taylor-Polynoms n mit den Großbuchstaben X und N und geben sie als numerische Anfangsdaten mit dem Eingabebefehl INPUT ii X, N in der ersten Zeile des Programms ein (INPUT bedeutet Eingabe in Englisch). Hier wird das Symbol ii verwendet um den Abstand zwischen dem Wort INPUT und der Liste der Eingabewerte deutlich anzuzeigen.

In die Maschine wird eine Beschwerdeanweisung eingeführt, in der angegeben ist: N ist die Ordnung des Polynoms, E ist die angegebene Genauigkeit, R1 ist die Ziffernkapazität des Zählwerts, A ist das Array von Vielfachen.

Da es möglich ist, das Schema bei der Implementierung von Funktionen (4.24) höherer Ordnung erheblich zu komplizieren, ist die Wahl der Ordnung des Bessel-Polynoms das wichtigste Problem bei der Synthese von FSS.

Die am häufigsten nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate durchgeführte Cit-Auswahl ermöglicht die Auswahl verschiedener Filter. Die Ordnung des Polynoms, das sich der Kurve annähert, wird festgelegt, und seine Parameter werden durch die Methode der kleinsten Quadrate bestimmt, so dass die Summe der quadratischen Differenzen zwischen den experimentellen Punkten und den Polynompunkten minimal ist. Die Glättung erfolgt an 5 - 10 Punkten mit Hilfe von Kurven zweiter und dritter Ordnung. Die digitale Filterung wird in vielen speziellen Gaschromatographie-Berechnungswerkzeugen verwendet.

Im allgemeinen Fall der Matrix C werden die Koeffizienten ah unabhängig voneinander bestimmt. Wenn wir die Reihenfolge des Regressionspolynoms ändern (durch Hinzufügen oder Entfernen mehrerer Terme), müssen alle Koeffizienten ak neu bestimmt werden, da sich die Matrix C ändert.Wenn das Experiment so geplant ist, dass die Matrix C diagonal ist, wird ak unabhängig voneinander bestimmt. Pläne mit dieser Eigenschaft werden als orthogonal bezeichnet.

Das Fehlen von Ableitungen auf der linken Seite zeigt eine perfekte Übertragung der Eingangssignale an. Je höher die Ordnung des Polynoms Q (p) ist, desto stärker ist ceteris paribus, und die Form der übertragenen Signale wird durch die Verbindung verzerrt.

Um das Problem zu lösen, müssen Sie die MULLER-Prozedur befolgen. Die Bedeutung der Parameter der Prozedur ist wie folgt: N ist die Ordnung des Polynoms, E ist die spezifizierte Genauigkeit, A ist der Name des Arrays von Koeffizienten des Polynoms, U, V ist der Name der Arrays von Real- und Imaginärteilen der Wurzeln des Polynoms.

Polynome - Was sind die wichtigsten Aktionen, die sie ausführen?

Polynomausdrücke oder Ausdrücke, die Polynome enthalten, sind ziemlich lang und komplex. Es wird daher empfohlen, sie so weit wie möglich zu vereinfachen - aus einer nicht standardmäßigen Sicht zu einer standardmäßigen Sicht.

Um ein Polynom in einer Standardform zu schreiben, müssen alle verfügbaren Aktionen mit ähnlichen Begriffen ausgeführt werden: Addieren, Subtrahieren oder Multiplizieren von numerischen Koeffizienten, Variablen und Graden. Das Polynom, das nicht mehr weiter vereinfacht werden kann, gilt als Standard.

Zum Beispiel kann der Ausdruck 5x2 yy - 7xuh 2 + 5ax zu 5a 2 2x - 2x 3 y - vereinfacht werden und der resultierende Ausdruck wird ein Standardpolynom sein. Es ist nicht mehr möglich, es in einer noch einfacheren Form zu schreiben.

Es gibt auch das Konzept des Grads eines Polynoms.

  • Es ist einfach zu bestimmen - es ist notwendig, die Grade jedes der verfügbaren Begriffe zu vergleichen.
  • Der größte von ihnen wird als Grad des gesamten Polynoms bestimmt.
  • Darüber hinaus werden die Begriffe, für die es auf den ersten Blick keinen Abschluss gibt, im ersten Abschluss immer als Monome betrachtet.

Bei Problemen besteht oft die Notwendigkeit, das Polynom in separate Faktoren zu zerlegen. Dies ist ganz einfach: Sie müssen nur feststellen, ob die Mitglieder des Ausdrucks im Prinzip einen gemeinsamen Faktor haben. Wenn es einen gibt, wird er aus den Klammern entfernt und die Begriffe bleiben in den Klammern.

Eigenschaften des Minimalpolynoms einer Matrix

1. Jedes vernichtende Polynom einer Matrix ist durch ein Minimalpolynom (ohne Rest) teilbar. Insbesondere wird das charakteristische Polynom durch das Minimalpolynom geteilt.

Nehmen wir in der Tat das Gegenteil an, lassen Sie das vernichtende Polynom [math] p ( lambda) [/ math] durch das minimale Polynom [math] mu _ ( lambda) [/ math] mit dem Rest dividieren:

2. Für jede Quadratmatrix [math] A [/ math] ist das minimale Polynom eindeutig.

In der Tat, wenn es zwei minimale Polynome gäbe, dann hätten sie den gleichen Grad und würden durch einander geteilt, d.h. würde sich nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden. Die führenden Koeffizienten dieser Polynome sind jedoch gleich Eins, daher fallen solche Polynome zusammen.

3. Alle Eigenwerte der Matrix sind die Wurzeln des Minimalpolynoms.

Einsetzen einer beliebigen Wurzel [math] lambda_i in die Gleichheit (7.28),

4. Hat das charakteristische Polynom die Form (7.24), so kann das Minimalpolynom dieser Matrix in der Form dargestellt werden

wo [math] 1 leqslant m_1 leqslant n_1,

1 leqslant m_2 leqslant n_2 [/ math] usw., außerdem [math] m_1 + m_2 + ldots + m_k = m leqslant n [/ math].

Diese Aussage ergibt sich aus Eigenschaft 3.

5. Das minimale Polynom der Matrix [math] A [/ math] ergibt sich aus der Formel

wo [math] d_( lambda) [/ math] ist der größte gemeinsame Faktor-Teiler der (n-1) -ten Minderjährigen der charakteristischen Matrix [math] (A- lambda E) [/ math].

Vergleichen Sie diese Gleichheit mit (7.27):

Bei der Division der λ-Matrix [math] Delta_A ( lambda) cdot E [/ math] links durch die charakteristische Matrix [math] (A- lambda E) [/ math] muss der Quotient (links) aufgrund der Eindeutigkeit der Division übereinstimmen. Deshalb

d.h. das Polynom [math] p ( lambda) [/ math] ist der Teiler aller Elemente der adjungierten Matrix. Beachten Sie, dass der Grad des Polynoms [math] p ( lambda) [/ math] maximal sein sollte, da das minimale Polynom [math] mu_A ( lambda) [/ math] den kleinstmöglichen Grad hat und die Summe der Grade dieser beiden Polynome in aufgrund der Gleichheit ist [math] Delta_A ( lambda) = (- 1) ^ np ( lambda) mu_A ( lambda) [/ math] fest und gleich [math] n [/ math]. Daher ist das Polynom [math] p ( lambda] [/ math] der größte gemeinsame Teiler der Elemente der adjungierten Matrix [math] (A- lambda E) ^ + [/ math]. Da die Elemente der adjungierten Matrix proportional zu den Minderjährigen der (n-1) -ten Ordnung der charakteristischen Matrix sind, ist [math] p ( lambda) = d_( lambda) [/ math].

Somit ist [math] Delta_A ( lambda) = (- 1) ^ n cdot d_( lambda) cdot mu_A ( lambda) [/ math], woraus Formel (7.30) folgt.

6. Das minimale Polynom der Matrix [math] A [/ math] fällt mit dem letzten invarianten Faktor [math] e_n ( lambda) [/ math] der charakteristischen Matrix [math] (A- lambda E) [/ math] zusammen.

In der Tat ist der größte gemeinsame Faktor [math] d_( lambda) [/ math] die einzige untergeordnete der n-ten Ordnung der charakteristischen Matrix [math] (A- lambda E) [/ math] unterscheidet sich von der Determinante dieser Matrix um den Faktor [math] (- 1) ^ n [/ math], d.h. [math] Delta_A ( lambda) = (- 1) ^ n d_( lambda) [/ math]. Wenn wir diesen Ausdruck in (7.30) einsetzen, erhalten wir

Möglichkeiten, das minimale Polynom einer Matrix zu finden

Sei [math] A [/ math] eine Quadratmatrix n-ter Ordnung. Es ist erforderlich, das minimale Polynom zu finden.

1. Legen Sie die Merkmalsmatrix [math] (A- lambda E) [/ math] an.

2. Bringen Sie es in die normale diagonale Form [math] (A- lambda E) sim operatorname Bigl (e_1 ( lambda), e_2 ( lambda), ldots, e_n ( lambda) Bigr) [/ math].

Der letzte invariante Faktor [math] e_n ( lambda) [/ math] ist das Minimalpolynom der Matrix [math] A [/ math] (nach Eigenschaft 6).

1. Legen Sie die Merkmalsmatrix [math] (A- lambda E) [/ math] an.

2. Ermitteln Sie das charakteristische Polynom [math] Delta_A ( lambda) = det (A- lambda E) [/ math].

3. Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor [math] d_( lambda) [/ math] Minderjährige (n-l) -ro in der Größenordnung der λ-Matrix [math] (A- lambda E) [/ math].

4. Ermitteln Sie mit der Formel (7.30) das minimale Polynom.

Beispiel 7.12 Finden Sie das minimale Polynom der Matrix [math] A = begin1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 end[/ math] Ermitteln Sie mit dem Minimalpolynom den Grad [math] A ^ m [/ math] mit dem natürlichen Exponenten [math] m in mathbb[/ math].

Lösung. Der erste Weg. 1. Wir stellen eine charakteristische Matrix zusammen

2. Wir bringen diese λ-Matrix in die normale Diagonalform. Vertausche die erste und dritte Zeile. Als führendes Element wählen wir die Einheit aus, die in der oberen linken Ecke der Matrix angezeigt wird. Mit dem führenden Element machen wir die verbleibenden Elemente der ersten Zeile und der ersten Spalte gleich Null:

Wir nehmen das Element [math] (- lambda) [/ math] als führendes Element und setzen alle anderen Elemente der zweiten Zeile und zweiten Spalte auf Null. Dann multiplizieren wir die zweite und dritte Zeile mit (-1), so dass die höchsten Koeffizienten der diagonalen Elemente gleich Eins sind. Wir erhalten die normale diagonale Ansicht:

Das minimale Polynom der Matrix [math] mu_A ( lambda) = e_3 ( lambda) = lambda ^ 2-3 lambda [/ math].

Der zweite Weg. 1. Wir setzen die Merkmalsmatrix (7.32) zusammen.

2. Wir finden das charakteristische Polynom [math] Delta_A ( lambda) = 3 lambda ^ 2- lambda ^ 3 [/ math] (siehe Beispiel 7.11).

3. Wir finden die Minderjährigen zweiter Ordnung der charakteristischen Matrix [math] (A- lambda E) [/ math]. Wir beschränken uns auf die Minderjährigen in den ersten beiden Zeilen:

Die Ausdrücke für die übrigen Minderjährigen stimmen mit den gefundenen überein. Der größte gemeinsame Teiler der Polynome [math] lambda ^ 2-2 lambda, , (- lambda), lambda [/ math] ist [math] lambda [/ math], d.h. [math] d_2 ( lambda) = lambda [/ math].

4. Durch die Formel (7.30) erhalten wir: [math] mu_A ( lambda) = frac <(- 1) ^ 3 (3 lambda ^ 2 lambda ^ 3)> < lambda> = lambda ^ 2 -3 lambda [/ math].

Zur Verifikation berechnen wir

In der Tat ist das minimale Polynom [math] mu_A ( lambda) [/ math] vernichtend, das heißt, [math] mu_A (A) = O [/ math]. Beachten Sie, dass sich für die Matrix [math] A [/ math] die minimalen und charakteristischen Polynome nur im Faktor [math] (- lambda) [/ math] unterscheiden.

Wir finden nun den Grad [math] A ^ m [/ math] der Matrix [math] A [/ math]. Betrachten Sie dazu das Polynom [math] lambda ^ m [/ math]. Teilen Sie es durch das minimale Polynom [math] mu_A ( lambda) [/ math]. Der Rest der Division (ein Polynom mit einem Grad, der nicht höher als der erste ist) kann als [math] alpha , lambda + beta [/ math] dargestellt werden. Bekommen

Dabei ist [math] p ( lambda) [/ math] der Quotient und [math] ( alpha cdot lambda + beta) [/ math] der Rest. Wir finden die Koeffizienten [math] alpha [/ math] und [math] beta [/ math] und setzen die Wurzeln des Minimalpolynoms in Gleichheit um:

- Wenn [math] lambda = 0 [/ math], haben wir: [math] 0 ^ m = p ( lambda) cdot0 + alpha cdot0 + beta [/ math],

- mit [math] lambda = 3 [/ math] haben wir: [math] 3 ^ m = p ( lambda) cdot0 + alpha cdot3 + beta [/ math],

beta = 0 [/ math]. Daher ist [math] lambda ^ m = p ( lambda) ( lambda ^ 2-3 lambda) + 3 ^ lambda [/ math]. Ersetze nun die Variable [math] lambda [/ math] für die Matrix [math] A: [/ math]

Das Ergebnis stimmt mit dem in Beispiel 7.10 erhaltenen überein.

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