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So fügen Sie Zahlen in ein Binärsystem ein

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Mit diesem Online-Rechner können Sie Subtraktionen hinzufügen sowie Binärzahlen online dividieren und multiplizieren.

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Wie man diesen Rechner benutzt: Der Rechner verfügt über zwei Eingabefelder zur Eingabe von Binärzahlen. Das erste Feld steht für die erste Zahl, das zweite für die zweite.

Zwischen diesen beiden Feldern müssen Sie auswählen, welche mathematische Aktion Sie für sie ausführen möchten. Sie können gebrochene Binärzahlen addieren und subtrahieren sowie multiplizieren oder dividieren.

Sie können einen Punkt oder ein Komma verwenden, um eine gebrochene Binärzahl einzugeben. Klicken Sie nach Eingabe der Zahlen und Auswahl einer mathematischen Operation auf die Schaltfläche Berechnen. Und oben auf der Seite werden Informationen mit dem Ergebnis der Berechnung angezeigt.

Bedienungsanleitung

1. Beim Hinzufügen von Zahlen im Binärformat das System Das Wichtigste ist, dass es jeweils zwei Zeichen hat - 0 und 1. Es dürfen keine anderen Zeichen enthalten sein. Infolgedessen ergibt die Addition von 2 Einheiten von 1 + 1 nicht 2, wie bei der Dezimalzahl das System , und 10, da 10 die Zahl ist, die der binären Einheit folgt das System Denken Sie an die einfachsten Regeln für das Hinzufügen von Binärdateien das System : 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10. Diese Regeln werden zum Hinzufügen benötigt die zahlen in binär das System in der Spalte. Wie Sie sehen, wechselt die Einheit beim Addieren von Eins zu Eins in die nächste Kategorie. Offensichtlich ändert das Addieren von Null zu einer beliebigen Binärzahl diese Zahl nicht.

2. Riesige Binärdatei die zahlen bequem in einer Säule gestapelt. Binäre Regeln das System ähnlich den Additionsregeln für die Addition in Dezimalzahl das System .Lassen Sie sich falten die zahlen 1111 und 101. Wir schreiben die Zahl mit einer kleineren Anzahl von Bits 101 unter die Zahl 1111 - die Ziffer der Entladung von eins die zahlen sollte über der Ziffer der gleichen Kategorie einer anderen liegen die zahlen . Jetzt darf man diese hinzufügen die zahlen . In der ersten Ziffer gibt 1 + 1 10 - 0 unter die Einheiten in der ersten Ziffer schreiben. Eine Einheit von 10 ergibt die Summe der Ziffern der zweiten Kategorie. In der zweiten Kategorie 1 + 0. Später wird eins aus der ersten Ziffer ebenfalls 10 hinzugefügt. Die Einheit rückt näher an die dritte Ziffer heran, und in der zweiten Ziffer der Summe ist sie ebenfalls Null. In der dritten Kategorie ergibt 1 + 1 + 1 (die Einheit ist hier hingegangen!) 11. In der dritten Kategorie beträgt die Summe 1 und eine andere Einheit von die zahlen 11 wird in die vierte Kategorie eingehen. Die vierte Ziffer hat nur die Nummer 1111. 1 + 1 = 10. Somit ist 1111 + 101 = 10100.

3. Das betrachtete Beispiel kann in die Spalte 1111 + 101 - 10100 geschrieben werden

Bildunterschriften:

Unterrichtsthema: "Arithmetische Operationen in Positionszahlensystemen" Lehrerin für Informatik Fedorchenko Marina ValentinovnaMOU Sekundarschule in Berezovskaya mit Bezirk Berezovka Taishet Gebiet Irkutsk Erinnern wir uns an Sie: Was heißt das Zahlensystem? Was heißt die Basis des Zahlensystems? Auf welcher Basis liegt das Binärzahlensystem? Geben Sie welches an Die Zahlen sind mit Fehlern geschrieben und argumentieren mit der Antwort: 1238, 30062, 12AAC0920, 1347610, Was ist die minimale Basis, die das Zahlensystem haben sollte, wenn Zahlen darin geschrieben werden können: 10, 21, 201, 1201 Endet eine gerade Binärzahl? Welche Ziffer endet eine ungerade Binärzahl?
Laplace schrieb über seine Einstellung zum binären (binären) Zahlensystem des großen Mathematikers Leibniz: „In seiner binären Arithmetik sah Leibniz einen Prototyp der Schöpfung. Es schien ihm, dass die Einheit das göttliche Prinzip darstellt und Null Nichtexistenz darstellt, und dass das höhere Wesen alles aus Nichtexistenz genauso erschafft, wie Einheit und Null in seinem System alle Zahlen ausdrücken. “ Diese Wörter unterstreichen die Vielseitigkeit des zweistelligen Alphabets. Alle Positionsnummernsysteme sind „gleich“, dh in allen werden Rechenoperationen nach den gleichen Regeln durchgeführt:
Es gelten die gleichen arithmetischen Gesetze: - kommutativ (translatorisch) m + n = n + mm · n = n · m assoziativ (kombinativ) (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k (m · n) · k = m · (n · k) = m · n · k Verteilung (Verteilung) (m + n) · k = m · k + n · k
Es gelten die Regeln für Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einer Spalte.
Regeln für die Ausführung von arithmetischen Operationen basieren auf Additions- und Multiplikationstabellen.
Addition in Positionszahlensystemen Von allen Positionssystemen ist das Binärzahlensystem besonders einfach. Betrachten Sie die Implementierung grundlegender arithmetischer Operationen für Binärzahlen. Alle Positionszahlensysteme sind "gleich", dh in allen werden arithmetische Operationen nach den gleichen Regeln ausgeführt: Es gelten die gleichen Regeln: kommutativ, assoziativ, verteilend, die Regeln für Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einer Spalte sind gültig, die Regeln für die Ausführung arithmetischer Operationen basieren zu den Tabellen der Addition und Multiplikation.
Wenn Sie in einem Binärzahlensystem wie in einem beliebigen Positionssystem zwei Ziffern von rechts nach links addieren, kann nur eine zur nächsten Ziffer wechseln. Das Ergebnis des Addierens von zwei positiven Zahlen hat entweder die gleiche Anzahl von Ziffern wie das Maximum der beiden Ausdrücke oder eine weitere Ziffer, aber diese Zahl kann nur eine sein. Betrachten Sie die Beispiele Lösen Sie die Beispiele selbst:
1011012 + 111112
1110112 + 110112
1001100
1010110
Bei der Durchführung der Subtraktion wird immer die kleinere vom größeren Absolutwert subtrahiert und das entsprechende Vorzeichen auf das Ergebnis gesetzt.
Subtraktion Betrachten Sie Beispiele Beispiele:
1011012– 111112
1100112– 101012
1110
11110
Multiplikation in Positionszahlensystemen Die Operation der Multiplikation wird unter Verwendung der Multiplikationstabelle gemäß dem üblichen Schema (verwendet im Dezimalzahlensystem) mit sequentieller Multiplikation des Multiplikators mit der nächsten Ziffer des Faktors durchgeführt. Wir werden Beispiele betrachten. Wir werden ein Beispiel für die Teilung betrachten
Lassen Sie uns die Beispiele lösen:
11012 1112

111102:1102=
1011011
101
Hausaufgabe 1. & 3.1.22 Erlernen der Regeln für die Ausführung von Rechenoperationen im Binärzahlensystem, Erlernen der Tabellen für Addition, Subtraktion, Multiplikation. Befolgen Sie die Schritte: 110010 + 111.0111110000111-11011000110101,101 * 111 Reflexion Heute in der Lektion war das informativste für mich ... Ich war überrascht, dass ... ich die heute in der Lektion gewonnenen Kenntnisse anwenden kann ...

Das Binärzahlensystem ähnelt der üblichen Dezimalzahl, außer dass anstelle von zehn die Basis 2 und nur zwei Ziffern 1 und 0 verwendet werden. Das Binärzahlensystem liegt der Funktionsweise von Computern zugrunde. In Binärcodes werden 1 und 0 verwendet, um bestimmte Prozesse zu aktivieren oder zu deaktivieren. Wie bei Dezimalzahlen können Binärzahlen hinzugefügt werden, und obwohl dies nicht kompliziert ist, scheint das Hinzufügen zunächst eine entmutigende Aufgabe zu sein. Bevor Sie mit dem Hinzufügen von Binärzahlen fortfahren, müssen Sie das Konzept einer numerischen Ziffer richtig verstehen.

Zeichnen Sie eine Bit-Tabelle, die aus zwei Zeilen und vier Spalten besteht. Im binären System wird die Basis 2 verwendet, sodass anstelle von Einheiten, Zehnern, Hunderten und Tausenden im Dezimalsystem (mit Basis 10) die Bitwerte im binären System Einheiten, Zweien, Vierern und Achtern sind. Einheiten befinden sich in der äußersten rechten Spalte der Tabelle und acht Einheiten in der äußersten linken Spalte.

Schreiben Sie eine Binärzahl in die unterste Zeile der Tabelle. Im Binärsystem werden nur 1 < displaystyle 1> und 0 < displaystyle 0> zum Schreiben von Zahlen verwendet.

  • Beispielsweise können Sie 1 in der Kategorie der Acht, 1 in der Kategorie der Vierer, 0 in der Kategorie der Doppel und 1 in der Kategorie der Einheiten schreiben. Als Ergebnis erhalten Sie die folgende Binärzahl: 1101.

Betrachten Sie die Kategorie der Einheiten. Wenn diese Stelle 0 ist, ist der Bitwert 0. Wenn sie 1 ist, ist der Wert 1.

  • Zum Beispiel ist in der Binärzahl 1101 in der Kategorie der Einheiten 1, also ist der Bitwert 1. Somit ist die Binärzahl 1 äquivalent zur Dezimalzahl 1.

Betrachten Sie die Kategorie der Zweien. Wenn es in dieser Kategorie 0 gibt, ist der Ziffernwert 0. Wenn es in der Kategorie 2 1 ist, ist der Ziffernwert 2.

  • Beispielsweise ist in der Binärzahl 1101 in der Doppelkategorie 0, also ist der Bitwert 0. Somit ist die Binärzahl 01 gleich der Dezimalzahl 1, da sie in der Doppelkategorie 0 ist und in der Einheitenkategorie 1: 0 + 1 = 1.

Betrachten Sie die Kategorie der Vierer. Wenn es in dieser Kategorie 0 gibt, ist der Ziffernwert 0. Wenn es in der Kategorie 4 1 ist, ist der Ziffernwert 4.

  • Beispielsweise ist in der Binärzahl 1101 die Anzahl der Viere 1, der Bitwert also 4. Die Binärzahl 101 entspricht also der Dezimalzahl 5, da sie in der Kategorie der Viere 1, in der Kategorie der Zwei 0 und in der Kategorie der Einheiten 1: 4 + 0 + hat 1 = 5.

Betrachten Sie die Entladung von acht. Wenn diese Ziffer 0 ist, ist der Ziffernwert 0. Wenn sie jedoch 1 in der Ziffer der Acht ist, ist der Ziffernwert 8.

  • Zum Beispiel ist in der Binärzahl 1101 die Ziffer der Acht 1, der Ziffernwert also 8. Die Binärzahl 1101 entspricht also der Dezimalzahl 13, da sie 1 in der Ziffer der Acht 1, 4 in der Ziffer 4, 2 in der Ziffer 2 und 1 in der Ziffer der Einheiten von 1 hat : 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Hinzufügen von Binärzahlen mithilfe von Bitwerten

Schreiben Sie die Zahlen in eine Spalte und addieren Sie die entsprechenden Zahlen. Da sich zwei Zahlen addieren, kann die Summe der einzelnen Ziffern 0, 1 oder 2 sein. Wenn die Summe 0 ist, notieren Sie die entsprechende Spalte 0. Wenn die Summe 1 ist, schreiben Sie 1. Wenn die Summe 2 ist, notieren Sie 0 und verschieben Sie 1 zum nächsten Spalte von zwei.

  • Wenn Sie beispielsweise die Binärzahlen 0111 und 1110 in die Spalte einfügen, ergeben die Einheiten 1 und 0 eine Gesamtzahl von 1. Schreiben Sie daher 1 am Ende dieser Spalte.

Addieren Sie die Zahlen in der Doppelspalte. Beim Hinzufügen kann es 0, 1, 2 oder 3 sein (wenn Sie 1 aus der Einheiten-Spalte übertragen haben). Wenn die Summe 0 ist, schreiben Sie eine 0 unter dem Doppelten in Bindestrichen. Wenn die Summe 1 ist, schreiben Sie unten in Spalte 1. Wenn die Summe 2 ist, schreiben Sie unter den Balken 0 und übertragen Sie 1 in die Spalte 4. Wenn die Summe 3 ist, notieren Sie 1 und übertragen Sie 1 in die Spalte 4 (3 Zweien = 6 = 1 Zweien und 1 Vier).

  • Wenn Sie zum Beispiel die Binärzahlen 0111 und 1110 addieren, ergeben zwei Einheiten in einer Spalte von Zweien 2 (zwei Zweien, dh eine Vier). Schreiben Sie also unter den Balken 0 und übertragen Sie 1 auf die Vier.

Fügen Sie die Zahlen in der vierten Spalte hinzu. Beim Hinzufügen kann es 0, 1, 2 oder 3 sein (wenn Sie 1 aus einer Spalte von zwei übertragen haben). Wenn die Summe 0 ist, schreiben Sie unter die Zeile 0 in der Kategorie der Vierer. Wenn die Summe 1 ist, schreiben Sie unten in Spalte 1. Wenn die Summe 2 ist, schreiben Sie unter Balken 0 und bewegen Sie 1 in die Achterspalte. Wenn die Summe 3 ist, notieren Sie 1 und übertragen Sie 1 in die Achterspalte (3 Vierer = 12 = 1 Vier und 1 Acht).

  • Wenn Sie beispielsweise die Binärzahlen 0111 und 1110 hinzufügen, sollten Sie drei Einheiten hinzufügen (unter Berücksichtigung der aus der Spalte übertragenen Doppelwerte). Als Ergebnis haben wir 3 Vieren, also 12, also schreibe 1 in die Spalte der Vieren und übertrage 1 in die Spalte der Acht.

Addieren Sie die Zahlen in jeder Ziffernspalte, bis Sie das endgültige Ergebnis erhalten. Der Einfachheit halber können Sie sich daran erinnern, dass 0 = 0, 1 = 1, 2 = 10 und 3 = 11.

  • Wenn Sie beispielsweise die Binärzahlen 0111 und 1110 in eine Achterspalte einfügen, sollten Sie zwei Einheiten hinzufügen (unter Berücksichtigung der aus der Spalte übertragenen Vierfachen). Als Ergebnis erhalten wir 2, schreiben 0 in die Achterspalte und übertragen 1 auf den Rang 16. Da in der Spalte von 16 keine Ziffern vorhanden sind, schreiben wir unter Zeile 1. Somit ist 0111 + 1110 = 10101.

Einheitentransfer von Binärzahlen

Schreiben Sie die Zahlen in eine Spalte. Kreisen Sie Paare von Einheiten (Ziffern 1) in der Kategorie der Einheiten ein. Denken Sie daran, dass sich die Entladung der Einheiten am rechten Rand befindet.

  • Wenn Sie beispielsweise 1010 + 1111 + 1011 + 1110 hinzufügen, sollten Sie ein Ziffernpaar 1 kreisen.

Betrachten Sie die Kategorie der Einheiten. Übertragen Sie für jedes Ziffernpaar 1 die Zahl 1 in die benachbarte linke Spalte, die der Zweierkategorie entspricht. Wenn es in der Spalte der Einheitenkategorie nur eine Ziffer 1 gibt oder nach der Übertragung von Paaren noch eine zusätzliche Einheit übrig ist, schreiben Sie unter Zeile 1. Wenn alle Einheiten paarweise sind oder gar nicht, schreiben Sie unten in Spalte 0.

  • Da Sie beispielsweise ein Ziffernpaar 1 eingekreist haben, sollten Sie 1 in eine Spalte mit zwei Ziffern übertragen und 0 unter die Zeile in der Einheitenkategorie schreiben.

ABTEILUNG DER BINÄRENZAHLEN

Wenn die Multiplikation durch mehrere Verschiebungen und Additionen ausgeführt wird, erfolgt die Division als Operation der inversen Multiplikation durch mehrere Verschiebungen und Subtraktionen.

(RICHTIGE FRACES OHNE GANZ.)

Bei der Darstellung von Festkommazahlen ist eine Division möglich, wenn der Dividend modulo kleiner als der Divisor ist, sonst kommt es zum Überlauf des Bitgitters .

Wie bei der „manuellen“ Division werden die Stellen des Quotienten beim Teilen von Zahlen an der Maschine (ausgehend von der höchsten) bestimmt, indem der Divisor nacheinander vom Rest der vorherigen Subtraktion abgezogen wird. Hier wird jedoch die Subtraktionsoperation durch die Operation des Hinzufügens des Restes mit einem negativen Divisor ersetzt, der im umgekehrten oder zusätzlichen Code dargestellt ist. Das Vorzeichen des Quotienten wird durch die Addition zweier modulo-Codes der Vorzeichen von Dividende und Divisor bestimmt.

Betrachten wir zunächst ein Beispiel für die manuelle Unterteilung.

Hier verschiebt sich der Divisor nach jeder Subtraktion in Bezug auf die Dividende nach rechts. Wenn der Rest nach der Subtraktion positiv ausfällt, wird 1 in die Kategorie des Quotienten geschrieben, wenn negativ, null. In der Praxis wird in der Regel der negative Rest nicht erfasst, lediglich der Teiler wird zusätzlich um eine Stelle nach rechts verschoben und vom positiven Rest abgezogen.

Anstatt den Teiler nach rechts zu verschieben, wird bei Maschinen der Rest nach links verschoben, was in der Tat nichts ändert.

Beim Teilen mit Wiederherstellen des Restes wird der negative Rest durch Summieren mit einem positiven Teiler wiederhergestellt. Der zurückgewonnene Rückstand wird um eine Stelle nach links verschoben. Der Divisor wird wieder vom verschobenen Rest abgezogen. Das Vorzeichen des empfangenen Guthabens bestimmt die Nummer der nächsten Kategorie von Privat. Der Teilungsprozess wird fortgesetzt, bis eine bestimmte Anzahl von Ziffern erhalten wurde, wodurch die erforderliche Genauigkeit des Ergebnisses sichergestellt wird.

Lassen Sie uns sehen, wie das vorherige Beispiel mit dem Auto gelöst wird.

Der Divisionsprozess beginnt mit einer Verschiebung der Dividende nach links um eine Ziffer, woraufhin ein Teiler hinzugefügt wird, der beispielsweise in einem zusätzlichen modifizierten Code dargestellt wird:

Wenn im ungünstigsten Fall mit der Wiederherstellung des Restes geteilt wird, müssen für die Bildung jeder Kategorie von Quotienten zwei Operationen ausgeführt werden: Subtraktion (Addition im zusätzlichen oder inversen Code) und Addition (Wiederherstellung des Restes). Das heißt, die Ausführungszeit der Divisionsoperation kann doppelt so lang wie das Minimum sein.

Um die durchschnittliche Ausführungszeit der Divisionsoperation zu verringern, wird die Division implementiert, ohne den Rest wiederherzustellen, dessen Algorithmus wie folgt lautet.

1) Bestimmen Sie das Vorzeichen durch Quotienten-Modulo-Summation der beiden Inhalte der Vorzeichenstellen von Dividende und Divisor.

2) Subtrahieren Sie den Divisor von der Dividende. Wenn der Rest negativ ist, fahren Sie mit Schritt 3 fort. Andernfalls ist die Berechnung abgeschlossen (es ist ein Überlauf aufgetreten).

3) Erinnern Sie sich an das Restzeichen.

4) Verschieben Sie den Rest um eine Stelle nach links.

5) Weisen Sie dem Divisor ein Vorzeichen zu, das dem Vorzeichen des in Abschnitt 2 gespeicherten Restes entgegengesetzt ist.

6) Fügen Sie den verschobenen Rest und den Divisor hinzu (unter Berücksichtigung des Vorzeichens).

7) Weisen Sie dem Quotienten die Zahl zu, die dem Restzeichencode entgegengesetzt ist.

8) Wiederholen Sie die Schritte 3 bis 7, bis die erforderliche Genauigkeit für die Berechnung des Quotienten gewährleistet ist.

Die Lösung des obigen Beispiels erfolgt in diesem Fall nach folgendem Schema:

Mit Gleitkomma

Wenn die Divisionsoperation für Zahlen mit FLOATING COMMAND ausgeführt wird, wird die Quotientenmantisse als Ergebnis der Division der Divisorenmantisse durch die Divisorenmantisse und die Quotientenreihenfolge als Ergebnis der Subtraktion des Divisorenreihenfolgencodes vom Divisorenreihenfolgencode definiert

Die Division von ganzzahligen n-Bit-Zahlen ungleich Null (ohne vorzeichenbehaftete Ziffern) A: B, dargestellt im direkten (der Einfachheit halber) Code, ergibt einen ganzzahligen Quotienten C und einen ganzzahligen Rest 0, dem das Vorzeichen der Dividende zugewiesen ist. Das Vorzeichen des Quotienten wird als Summe Modulo Zwei berechnet Operanden A und B.

Die Aufteilung erfolgt in der folgenden Reihenfolge.

1) Der Divisor B wird nach links verschoben (normalisiert), so dass es in der höchsten Informationskategorie 1 gibt, die Anzahl der Verschiebungen S wird berechnet, der Quotient der Division kann nicht mehr als (S + 1) Bits sein, die ungleich Null sind.

2) Ein (S + 1) Modulunterteilungszyklus wird durchgeführt | A | auf IB’l wo B "das normalisierte B ist, gibt es als Ergebnis einen (S + 1) Rang von privat, beginnend mit dem ältesten von (S + 1) junior.

3) Der im letzten Teilungszyklus erhaltene Rest Rs + 1 wird, falls positiv, um S Stellen nach rechts verschoben, falls Rs + 1

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