Hilfreiche Ratschläge

Sinussatz und Cosinussatz

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Der Kosinussatz kann auf jede Seite eines Dreiecks angewendet werden.

Wir schreiben die Formeln für jede Seite auf und finden heraus, wie der Kosinussatz in Abhängigkeit von den Bedingungen des Problems angewendet werden kann.

Das Quadrat auf beiden Seiten des Dreiecks ist die Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten abzüglich des Doppelprodukts dieser Seiten durch den Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Für Dreieck ABC

kann aufgezeichnet werden

in einer von drei varianten:

Wir erhalten die folgenden drei Formeln des Cosinussatzes:

Auf welche Seite des Dreiecks wird der Kosinussatz angewendet?

Der Kosinussatz wird auf die Seite angewendet, gegenüber der der Winkel bestimmt wird (das heißt, er ist entweder bekannt oder muss nur gefunden werden).

Als nächstes betrachten wir die Anwendung des Cosinussatzes bei der Lösung von Problemen.

Die Formel des Cosinussatzes

Die quadratische Seite des Dreiecks ist die Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten abzüglich des Doppelprodukts dieser Seiten durch den Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Das heißt, für ein flaches Dreieck mit den Seiten $ a $, $ b $ und $ c $ und dem Winkel $ alpha $ gegenüber der Seite $ a $ gilt folgende Beziehung:

Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras. Aussagen, die den Satz des Pythagoras verallgemeinern und dem Satz des Kosinus entsprechen, wurden in den Sätzen 12 und 13 des zweiten Buches vom Anfang des altgriechischen Mathematikers Euklid (ca. 300 v. Chr.) Für Fälle eines spitzen und stumpfen Winkels getrennt formuliert. Aussagen, die dem Kosinussatz für ein sphärisches Dreieck entsprechen, wurden in den Schriften von Mathematikern in Zentralasien verwendet. Der Kosinussatz für das kugelförmige Dreieck in der üblichen Form wurde vom hervorragenden deutschen Astrologen, Astronomen und Mathematiker Regiomontan (1436 - 1476) formuliert und als „Albathegnia-Theorem“ (benannt nach dem herausragenden mittelalterlichen Astronomen und Mathematiker Abu Abdallah Muhammad ibn Jabir ibn Sinan al-Batani 85) bezeichnet - 929).

In Europa wurde der Kosinussatz im 16. Jahrhundert vom französischen Mathematiker Francois Viet (1540 - 1603) populär gemacht. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts begann es, in der bis heute akzeptierten algebraischen Notation niedergeschrieben zu werden.

Folgerung aus dem Kosinussatz

Mit dem Cosinussatz kann der Cosinus des Winkels eines Dreiecks ermittelt werden:

Wenn $ b ^ <2> + c ^ <2> -a ^ <2 >> 0 $, dann ist der Winkel $ alpha $ spitz,

Wenn $ b ^ <2> + c ^ <2> -a ^ <2> = 0 $, dann ist der Winkel $ alpha $ eine gerade Linie.

Die aufgabe. Im Dreieck $ ABC AC = 3, BC = 5 $ und $ AB = 6. $ finden Sie den Winkel gegenüber der Seite $ AB $

Lösung. Entsprechend der Konsequenz des Kosinussatzes haben wir:

$$ angle A C B = arccos left (- frac <1> <15> right) $$

Die antwort. $ angle A C B = arccos left (- frac <1> <15> right) $

Die aufgabe. Ein gegebenes Dreieck ist $ ABC $, dessen Seitenlängen $ AC = 17, BC = 14, angle ACB = 60 ^ < circ> $ sind. Ermitteln Sie die Länge der dritten Seite des betreffenden Dreiecks.

Lösung. Nach dem Cosinussatz

$$ A B ^ 2 = A C ^ 2 + B C ^ 2 - 2 cdot A C cdot B C cdot cos angle A C B = $$

$$ = 17 ^ 2 + 14 ^ 2 - 2 cdot 17 cdot 14 cdot cos 60 ^ = 289 + 196-238 = 24 $$

Sehen Sie sich das Video an: Sinussatz - Dreiecke einfach berechnen Gehe auf & werde #EinserSchüler (September 2021).

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