Hilfreiche Ratschläge

Horner-Schema

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Abschnitte: Mathe

Lernziele:

  • den Schülern beibringen, Gleichungen höheren Grades nach dem Horner-Schema zu lösen,
  • die Fähigkeit zu entwickeln, paarweise zu arbeiten,
  • in Verbindung mit den Hauptabschnitten des Kurses eine Grundlage für die Entwicklung der Fähigkeiten der Studenten zu schaffen,
  • Helfen Sie dem Schüler, sein Potenzial einzuschätzen, Interesse an Mathematik zu entwickeln, die Fähigkeit zu denken und über das Thema zu sprechen.

Ausstattung Karten für die Gruppenarbeit, ein Poster mit einem Horner-Diagramm.

Trainingsmethode: Vortrag, Geschichte, Erklärung, Durchführung von Übungsaufgaben.

Form der Kontrolle: Aufgaben der selbständigen Lösung überprüfen, selbständig arbeiten.

Lektion

1. Organisatorischer Moment

2. Aktualisierung der Kenntnisse der Schüler

- Mit welchem ​​Theorem können Sie bestimmen, ob eine Zahl die Wurzel einer gegebenen Gleichung ist (formulieren Sie einen Theorem)?

Bezout-Satz. Der Rest der Division des Polynoms P (x) durch das Zwei-Glied xc ist gleich P (c), die Zahl c heißt die Wurzel des Polynoms P (x), wenn P (c) = 0 ist. Der Satz erlaubt es, ohne die Divisionsoperation durchzuführen, zu bestimmen, ob eine gegebene Zahl die Wurzel eines Polynoms ist.

- Welche Aussagen erleichtern die Suche nach Wurzeln?

a) Wenn der führende Koeffizient des Polynoms gleich eins ist, sollten die Wurzeln des Polynoms unter den Teilern des freien Terms gesucht werden.

b) Wenn die Summe der Koeffizienten des Polynoms 0 ist, ist eine der Wurzeln 1.

c) Wenn die Summe der Koeffizienten an geraden Stellen gleich der Summe der Koeffizienten an ungeraden Stellen ist, dann ist eine der Wurzeln -1.

d) Wenn alle Koeffizienten positiv sind, sind die Wurzeln des Polynoms negative Zahlen.

e) Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Wurzel.

3. Neues Material lernen

Wenn man ganze algebraische Gleichungen löst, muss man die Werte der Wurzeln von Polynomen finden. Diese Operation kann erheblich vereinfacht werden, wenn Berechnungen nach einem speziellen Algorithmus durchgeführt werden, der als Horner-Schema bezeichnet wird. Dieses Schema ist nach dem englischen Wissenschaftler William George Horner benannt. Das Horner-Schema ist ein Algorithmus zur Berechnung des Quotienten und der restlichen Division des Polynoms P (x) durch xc. Kurz, wie es funktioniert.

Es sei ein beliebiges Polynom P (x) = a0x n + a1x n-1 + ... + an-1x + an. Die Division dieses Polynoms durch xc ist seine Darstellung in der Form P (x) = (xc) g (x) + r (x). Quotient g (x) = in0x n-1 + cnx n-2 + ... + cn-2x + bn-1wo in0= a0inn= svn-1 + an, n = 1,2,3, ... n-1. Der Rest r (x) = svn-1 + an . Diese Berechnungsmethode wird als Horner-Schema bezeichnet. Das Wort "Schaltung" im Namen des Algorithmus ist mit der Tatsache verbunden, dass seine Ausführung normalerweise wie folgt ausgeführt wird. Zeichne zuerst Tabelle 2 (n + 2). Die Zahl c wird in die untere linke Zelle und die Koeffizienten des Polynoms P (x) in die obere Zeile geschrieben. In diesem Fall bleibt die obere linke Zelle leer.

LÖSUNG VON KUBISCHEN GLEICHUNGEN NACH DEM HORNER-SCHEMA

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = 0

Zuerst müssen Sie eine Wurzel durch die Auswahlmethode finden. Normalerweise ist er ein Teiler eines freien Mitglieds. In diesem Fall die Teiler der Zahl 6 sind ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ Nummer 1 nicht die Wurzel des Polynoms

-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ Zahl -1 nicht die Wurzel des Polynoms

2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ Zahl 2 ist die Wurzel des Polynoms

Wir haben eine der Wurzeln des Polynoms gefunden. Die Wurzel des Polynoms ist 2, was bedeutet, dass das ursprüngliche Polynom durch geteilt werden sollte x - 2. Um die Polynomdivision durchzuführen, verwenden wir das Horner-Schema:

4-19196
2

Die oberste Zeile enthält die Koeffizienten des ursprünglichen Polynoms. In der ersten Zelle der zweiten Zeile haben wir die Wurzel gefunden 2. Die zweite Zeile enthält die Koeffizienten des Polynoms, die sich aus der Division ergeben. Sie werden wie folgt betrachtet:

4-19196
24
Schreiben Sie in die zweite Zelle der zweiten Zeile die Nummer 1, Bewegen Sie es einfach aus der entsprechenden Zelle der ersten Zeile.
4-19196
24-11
2 ∙ 4 - 19 = -11
4-19196
24-11-3
2 ∙ (-11) + 19 = -3
4-19196
24-11-30
2 ∙ (-3) + 6 = 0

Die letzte Zahl ist der Rest der Division. Wenn es 0 ist, dann haben wir alle richtig gerechnet.

So haben wir das ursprüngliche Polynom faktorisiert:

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2) (4x 2 - 11x - 3)

Jetzt müssen wir nur noch die Wurzeln der quadratischen Gleichung finden

4x 2 - 11x - 3 = 0
D = b 2 - 4ac = (-11) 2 - 4 ≤ 4 ≤ (-3) = 169
D> 0 ⇒ Die Gleichung hat 2 Wurzeln

Sehen Sie sich das Video an: Horner-Schema statt Polynomdivision, Nullstellen bestimmen. Mathe by Daniel Jung (Januar 2022).

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